Capitulo 3 Fracciones

Las fracciones se emplean en casi toda la labor matemática y científica. Se presentan cuando se compara una cantidad con otra, cuando se compara una parte con el todo, al resolver ecuaciones y en muchos otros contextos. Como las fracciones representan números reales, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. También habrá necesidad de simplificarlas, y para esto es necesario además poder factorizarlas.

3.1

Fracciones equivalentes y el principio fundamental 

3.2

Multiplicación y división de fracciones

3.3

Adición y sustracciónde fracciones

3.4

Fracciones complejas

3.5

Términos básicos

 

3.1   Fracciones equivalentes y el principio fundamental

Una expresión fraccionaria es un cociente de expresiones algebraicas. No debe ol­vidarse en ningún momento que

La división entre cero no esta definida

Expresión racional                                          

Por lo general, se trabajara con un tipo especial de expresión fraccionaria que es igual al cociente de dos polinomios y recibe el nombre de expresión racional.
A continuación se dan ejemplos de expresiones racionales.

Como los valores de tales fracciones son números reales, las reglas dadas ante­riormente siguen siendo validas, junto con algunas de nuevo ingreso.

Para todos los números reales a, b, c y d con b =/= 0 y d =/= 0:

Fracciones equivalentes

Por ejemplo,

Principios fundamentales de las fracciones

Por ejemplo,

Signos de las fracciones

Por ejemplo,

Las demostraciones de estos teoremas o leyes son consecuencia de las propiedades de los números reales. Aun cuando tales demostraciones no se darán aquí, algunas de ellas se indican en los problemas.

NOTA  

La definición de fracciones equivalentes cambia la igualdad de dos fracciones (división) por la igualdad de dos productos.

EJEMPLO 1

Solución

EJEMPLO 2

Muestre que las fracciones dadas a continuación son equivalentes

Solución

son equivalentes porque

[y2(x - 1)(x + 2)] - (x) = [yx(x + 2)] - [y(x - 1)]

Signos de una fracción

Hay tres signos que se asocian con una fracción. Son el signo que precede al numerador, el signo que precede al denominador y el signo que precede a la fracción.

Si se cambian dos cualesquiera de estos signos, la nueva fracción es equivalente a la fracción original.

Por ejemplo, según el principio fundamental,

EJEMPLO 3     Utilice el principio fundamental para verificar que las fracciones en cada una de las partes que siguen son equivalentes.

Hay que tener mucho cuidado con los signos menos. Por ejemplo, (-x + 4)/5 =/= -(x + 4)/5.

El principio fundamental de las fracciones, el cual establece que

se puede utilizar en dos formas. Una fracción se puede simplificar eliminando un factor común tanto del numerador como del denominador. A esto se le llama cancelar, simplificar o reducir. Por otra parte, en muchas situaciones es preferible introducir un factor común, mediante la multiplicación, en el numerador y en el denominador.

Empleo del principio fundamental de las fracciones para eliminar un factor: aklbk = alb

Se dice que una fracción esta en su expresión mínima, si el numerador y el deno­minador no tienen, a excepción del 1, factores comunes. El principio fundamental se puede utilizar para reducir una fracción a su expresión mínima eliminando los factores comunes del numerador y el denominador. Solo se pueden eliminar los factores comunes, no los términos comunes que se sumen. Así ya que

a + b no es un factor tanto del numerador como del denominador en la primera expresión, mientras que a + b es un factor común en la segunda. Por la misma razón,

Los miembros de una fracción se deben factorizar de tal modo que los factores comunes se identifiquen con claridad.

EJEMPLO 4     Simplifique la fracción siguiente eliminando los factores comunes.

Solución

Si un factor del numerador y un factor del denominador difieren solo en el signo, entonces su cociente es -1, como en el ejemplo que sigue. Véase también el ejem­plo 3(d).

EJEMPLO 5     Simplifique la fracción siguiente.

Solución

EJEMPLO 6     Simplifique la fracción siguiente factorizando primero el numerador y el denominador.

Solución

EJEMPLO 7     Reduzca (x3 + x2 - 6x)/(x4 - 3x3 + 2x2) a su expresión mínima.

Solución

Empleo del principio fundamental de las fracciones para introducir un factor: alb = ak/bk

En muchas operaciones, tales como en la división de los números complejos (Cap. 5), la adición de fracciones (Sec. 3.3), la racionalización del numerador o del de­nominador de algunas expresiones radicales (Cap. 4), al trabajar con exponentes negativos (Cap. 4) y al simplificar fracciones complejas (Sec. 3.4), una expresión dada debe tener cierta forma especifica. Esto ultimo se puede lograr a menudo si ambos miembros de la fracción se multiplican por la misma expresión. El efecto neto es multiplicar la fracción por 1, ya que

En el ejemplo 8 se mostrara como hacer del denominador un cubo perfecto, el cual es un paso esencial para racionalizar denominadores monomiales. Mas ade­lante, se multiplicaran las fracciones por 1 mediante expresiones tales como

EJEMPLO 8     Multiplique el numerador y el denominador por el mismo factor para convertir el denominador en un cubo perfecto.

Solución

EJEMPLO 9     Multiplique el numerador y el denominador por el mismo factor para que el denominador sea 10xyz.

Solución

EJEMPLO 10

Solución

 

EJEMPLO 11   Convierta (a + b)l(a - b) en una fracción equivalente con a2 - b2 por denominador.

Solución         Como a2 - b2 = (a + b)(a - b), se multiplican ambos miembros de la fracción dada por a + b para obtener

EJEMPLO 12   Escriba (x2 - xy + y2)/(x - y) como una fracción equivalente con x3 - y3 por de­nominador.

   Solucion  Como x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2), escribimos

En el ejemplo que sigue el principio fundamental de las fracciones se utiliza en dos formas. En primer lugar se introduce un factor común, y en segundo lugar se elimina otra fracción común.

EJEMPLO 13    Simplifique la fracción (½2x + 1½ - 7)/(x - 3).

En los cuatro problemas que siguen se dan indicaciones para demostrar algunas de las propiedades vistas en esta sección.

69.        Suponga que alb = cld, sin división entre cero.

 Multiplique cada uno de los miembros por bd y simplifique para mostrar que ad = bc.

70.       Suponiendo que no hay división entre cero, muestre que alb = aklbk demostrando que a(bk) = b(ak).

 

71.        Suponiendo que no hay división entre cero, muestre que

haciendo ver que (a)(-b) = (b)(-a).

72.       Suponiendo que no hay división entre cero, muestre que

haciendo ver que (a)(-b) = (b)(-a).