7.5    Localización de los ceros reales

A menudo es útil poder determinar un intervalo que contenga todos los ceros reales de una función polinomial. Todo número que sea mayor que o igual al cero más grande de una función polinomial recibe el nombre de cota superior de los ceros; de igual manera, todo número que sea igual a o menor que el cero más pequeño de una función polinomial recibe el nombre de cota inferior de los ceros.

En el teorema que sigue se emplea la división sintética para determinar cotas superiores e inferiores y se le llama teorema de cotas. Recuérdese que en la división sintética los números del tercer renglón son los coeficientes del cociente, seguidos por el residuo.

 

Teorema de cotas    Supóngase que f(x) es un polinomio con coeficientes reales y que su primer coeficiente es positivo. Si se utiliza la división sintética para dividir f(x) entre x – y

a) Si c ? 0 y todos los términos del tercer ,renglón de la división sintéticason positivos o 0, entonces c es una cota superior de los ceros reales de f(x).

a)       Si c G 0 y las términos del tercer renglón de la división sintética tienen signos alternados, entonces c es una cota inferior de los ceros reales de

Al número cero se le puede anteponer un signo más o un signo menos según se requiera para la alternancia de los signos.

Para demostrar la primera parte del teorema comenzaremos con

f(x) = Q(x)(x – c) + R  (1)

En la división sintética, los coeficientes que aparecen en Q(x) y el valor de R son los números del tercer renglón. Si todos estos números son positivos o cero y x > c > 0, entonces Q(x), (x - c) y R son todos positivos y por (1) se sabe que f(x) > 0. Esto quiere decir que no hay raíces reales de f(x) = 0 que sean mayores que c; a su vez, esto significa que c es una cota superior de los ceros reales de f(x), como se indica en la primera parte del teorema. Aun cuando se omitirá la demostración de la segunda parte, con respecto a ella se invita al lector que con­sulte el problemas 45.

EJEMPLO 1         Halle cotas superiores e inferiores de las raíces reales de la ecuación

 x4 – x3 – 12x2 – 2x + 3 = 0

Solución             Al dividir sintéticamente entre x – 4 y x – 5 se obtiene

En la división entre 4, no todo signo en el tercer renglón es positivo o cero; por tanto, no se puede afirmar que 4 sea una cota superior de las raíces. En cambio, en la división entre 5 todas ?as cantidades en el tercer renglón son positivas, por lo que se puede afirmar que 5 es una cota superior de las raíces. Si se divide entre x – 1, x – 2 y x – 3 no es posible determinar una cota superior de las raíces.

Si se divide entre x + 1 = x - (-1) y entre x + 2 = x - (-2) no se determi­na una cota inferior porque los signos en el tercer renglón no se alternan. Pero si se divide sintéticamente entre -3, entonces se obtiene

Si el cero a la mitad del tercer renglón se sustituye por + , entonces los signos en el tercer renglón quedan alternados. Por tanto, -3 es una cota inferior de las raíces.

Obsérvese que las cotas superiores no son únicas ya que por ejemplo, si 5 es una cota superior de los ceros positivos, entonces 6 o 16 también son cotas superiores. Por otra parte, el teorema no siempre da la mínima cota superior. Con respecto a las cotas inferiores son válidos comentarios similares. Todo esto se mues­tra en el ejemplo que sigue.

EJEMPLO 2        Aplique el teorema de cotas a f(x) = (x – 4)(x – 5).

Solución            Si f(x) = (x - 4)(x - 5) = x2 - 9x + 20, se sabe que los ceros son 4 y 5, de donde se infiere que 6 es una cota superior. Sin embargo, tal como se aprecia en la divi­sión sintética siguiente,

el teorema de cotas por sí solo no muestra que 6, 7 o inclusive el 8 sean una cota superior. El número 9 es la mínima cota superior entera que es posible determinar mediante el teorema de cotas.

Regla de Descartes de los signos

La regla siguiente permite determinar el número máximo de ceros positivos y ne­gativos de un polinomio f(x) con coeficientes reales. No dice nada acerca de sus valores sino únicamente cuántos ceros son.

Si los términos de un polinomio se disponen en potencias descendentes de la variable, se dice que ocurre una variacion de signos cuando los signos de dos términos consecutivos son diferentes. Por ejemplo, en el polinomio 2x4 – 5x3 – 6x2 + 7x + 3, los signos de los términos son + - - + +. Por tanto, hay dos variaciones de signo ya que el signo cambia de positivo a negativo y luego vuelve a ser positivo. Por otra parte, en x4 - 2x3 + 3x2 + 6x – 4 hay tres variaciones del signo.

A continuación se enunciará la regla de Descartes de los signos y luego se ejem­plificará. La demostración será omitida.

Regla de Descartes                Sea f(x) un polinomio que tiene coeficientes reales y un término constante

de los signos                         diferente de cero, dispuesto en potencias descendentes o decrecientes de la

                                             variable.

                                             1.   El número de raíces positivas de f(x) = 0 es igual al número de variaciones de signo de f(x), o es menor que este número en una cantidad par.

                                             2.   El número de raíces negativas de f(x) = 0 es igual al número de variaciones de signo de f(-x), o es menor que este número en una cantidad par.

NOTA      La única diferencia entre f(x) y f(-x) es el signo de las potencias impares de x. Por ejemplo, si f(x) = x5 + x4 + x3 + x2, entonces

                                                                      f(--x) = (-x)5 + (-x)4 + (-x)3 + (-x)2

                                                                               = - x5 + x4 - x3 + x2

EJEMPLO 3    Determine el número máximo de raíces positivas y el número máximo de raíces negativas de x4 - 3x3 - 5x2 + 7x - 3 = 0.

Solución         Como hay tres variaciones de signo en f(x) = x4 - 3x3 - 5x2 + 7x - 3, el número de ceros positivos de f(x) es 3 o 1.

Por otro lado, f(-x) = x4 + 3x3 - 5x2 - 7x - 3, y este polinomio tiene una sola variación de signo. Así, el número de raíces negativas de f(x) = 0 es uno.

Cuántos y de qué magnitud      El teorema de cotas suministra información acerca de las cotas superiores e inferiores de los valores de las raíces de f(x) = 0. La regla de Descartes de los signos de información acerca del número de raíces positivas y negativas sin decir cuál pueda ser la magnitud de cada una de tales raíces.

                                                Al aplicar cualquiera de estos dos teoremas puede muy bien presentarse un 0. Al emplear el teorema de cotas puede aparecer un 0 en el tercer renglón de la división sintética. Se le puede asignar un signo más o un signo menos en el proceso de determinación de las cotas de los ceros. En la regla de Descartes de los signos, si un 0 aparece como coeficiente debe ser ignorado.

EJEMPLO 4       ¿Qué información se puede dar acerca de las raíces positivas y negativas de f(x) = x3 - 4x2 + 3x + 2 = 0?

Solución           Hay dos variaciones de signo en f(x); eso significa dos raíces positivas o ninguna. Como f(-x) = -x3 - 4x2 - 3x + 2, hay una variación de signo en f(-x), por lo que f(x) = 0 tiene exactamente una raíz negativa. Utilizando la división sintética se obtiene

 Por tanto, ninguna raíz negativa es menor que -1 y ninguna raíz positiva es mayor que 4.

Localización de los ceros

 

Cuando se dibuja la gráfica de una función polinomial trazando puntos y luego conectándolos mediante una curva suave sin brechas, lo que se emplea es una pro piedad avanzada de los polinomios denominada continuidad. La continuidad es un tema importante que sólo se puede tratar de manera adecuada en un curso de cálculo diferencial, no obstante lo cual aprovecharemos totalmente esa propiedad. Si se emplea la sustitución o la división sintética para evaluar la función polinomial

                                                               f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 6      en x = 0 y x = 1

se halla que f(0) = 6 y f(1) = -7. El valor de f(x) cambia de signo, lo cual sig­nifica que su gráfica está en lados opuestos del eje x entre x = 0 y x = 1. La continuidad de la función obliga a la gráfica a cruzar el eje x en algún punto entre 0 y 1. Véase la figura 7.18.

FIGURA 7.18

Teorema del valor medio para polinomios   Si f(x) es un polinomio con coeficientes reales y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe por lo menos un valor c entre a y b tal que f(c) = 0.

Según el teorema del valor medio la gráfica del polinomio anterior, el cual es f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 6, cruza el eje x en tres puntos:

Como f(-3) = -39 y f(-2) = 2,

       hay un cero entre -3 y -2 (aproximadamente en -2.1).

Como f(0) = 6 y f(1) = -7, como ya se vio,

       hay un cero entre 0 y 1 (aproximadamente en 0.5).

Como f(3) = -3 y f(4) = 38,

hay un cero entre 3 y 4 (aproximadamente en 3.1).

EJEMPLO 5         Localice los ceros de f(x) = 2x3 - x2 - 6x + 3.

Solución             Se puede utilizar la sustitución o la división sintética para hallar f(-2) = -5, f(-1) = 6, f(0) = 3, f(1) = -2 y f(2) = 3. Por tanto, hay ceros entre -2 y -1, en­tre 0 y 1 y entre 1 y 2. Como la ecuación es de grado 3 sólo pueden haber tres ceros.

EJEMPLO 6         Describa los ceros de

f(x) = x5 - 10x4 + 33x3 - 38x2 + 6x + 4         (2)

Solución             Como f(x) es de grado 5 hay cinco ceros, incluyendo los reales y los complejos y sus multiplicidades. Como en f(x) hay cuatro variaciones de signo, deben haber 4, 2 o 0 positivos. En f(-x) = -x5 - 10x4 - 33x3 - 38x2 - 6x + 4 hay una sola variación de signo. Eso indica que hay un solo cero negativo.

La siguiente tabla de valores se puede construir ya sea calculando valores de la función directamente con la ecuación (2) o bien utilizando la división sintética. En la tabla se ve que x = 2 es un cero y que hay ceros entre -1 y 0, entre 0 y 1, entre 1 y 3, entre 3 y 4 y entre 4 y 5. Esto da un total de cuatro ceros positivos y un cero negativo.

En seguida se muestran algunas de las divisiones sintéticas.

En la división entre -1 los signos en el tercer renglón se alternan, por lo que -1 es una cota inferior de los ceros negativos. También podría haberse usado el he­cho de que el único cero negativo se encuentra entre -1 y 0. Se sabe que 5 es una cota superior de los ceros positivos porque en realidad ya se ha determinado que los cuatro ceros positivos están entre 0 y 5. El tercer renglón de la división sintéti­ca no dará una cota superior sino hasta que se tome x = 10, ya que el segundo número será negativo si x = 5, 6, 7, 8 y 9. Véase la figura 7.19.

 

EJERCICIO 7.5

Use el teorema de cotas en los problemas 1 a 12 para hallar cotas superiores e inferiores de las raíces reales de la ecuación dada.

1. 2x3 + x2 + x – 1 =0                                               

2. 2x3 + x2 + 4x – 15=0                                             

3. 3x3 – 4x2 + 3x – 2 = 0

4. 3x3 – x2 + 7x + 6 = 0

5. 4x3 – 5x2 – x – 1 = 0

6. 4x3 – 8x2 – 9x + 18=0

7. 25x3 + 75x2 – 4x – 12=0

8. 4x3 + 9x2 + 8x – 2 = 0

9. x4 – 6x3 + 13x2 - 12x + 4 = 0

10. x4 – 10x3 + 2x2 – 60x + 36 = 0

11. 2x4 + x3 – 8x2 – x + 6 = 0

12. 3x4 – 15x3 – 21x2 – 17x + 30 = 0

Determine el número de raíces positivas y el número de raíces negativas de la ecuación dada en cada uno de los problemas 13 a 24 utilizando la regla de Descartes de los signos.

13. x3 – 4x2 – 5x + 2 = 0

14. –2x3 – 3x2 + 5x + 7 = 0

15. 5x3 + 3x2 + 6x + 1 = 0

16. 2x3 + 5x2 – x + 2 = 0

17. 2x4 + 5x3 – 3x2 + x + 2 = 0

18. x4 – 4x3 + 12x2 + 24x + 24 = 0

19. –3x4 – 5x3 +8x2 – 2x + 6 = 0

20. 3x4 + 8x3 – 2x2 + 5x – 1 = 0

21. 4x5 + 3x4 – 2x3 + x2 – x + 4 = 0

22. 3x5 – 3x3 + 2x2 + 5x – 1 = 0

23. 3x5 + 2x2 + 5x – 1 = 0

24. 2x6 – 3x4 + x3 – 3 = 0

En los problemas 25 a 36 emplee el teorema del va­lor medio para localizar cada una de las raíces reales entre dos enteros consecutivos.

25. 3x3 + 10x2 – 2x – 4 = 0

26. 3x3 – 19x2 + 21x – 4 = 0

27. 2x3 – 19x2 + 50x – 28 = 0

28. 3x3 – 28x2 + 54x + 20 = 0

29. x4 – 80x3 + 12x2 + 16x – 16 = 0

30. x4 + 4x3 – 15x2 – 66x – 54 = 0

31. 3x4 – 12x3 – 9x2 + 16x + 4 = 0

32. 3x4 – 12x3 – 6x2 + 36x – 9 =0

33. 2x3 – 11x2 + 18x – 14 = 0

34. 3x3 – 13x2 + 19x – 5 = 0

35. x4 – 4x2 – 8x – 4 =0

36. x4 – 8x3 + 21x2 – 20x – 6 = 0

La ecuación dada en cada uno de los problemas 37 a 40 tiene dos raíces entre enteros consecutivos. Localice tales raíces empleando valores entre enteros consecutivos. Localice también todas las otras raíces que están entre enteros consecutivos.

37. 3x3 – 4x2 – 7x – 2 = 0

38. 3x3 – 5x2 – 6x + 10 = 0

39. 9x3 – 15x2 – 12x + 20 = 0

40. 9x3 – 24x2 – 48x + 128 = 0

Emplee la regla de Descartes de los signos en los problemas 41 a 44.

41. Muestre que x6 + 2x4 + 3x2 + 4 = 0 tiene seis raíces imaginarias.

42. Muestre que 5x5 + 3x3 + x + 1 = 0 tiene cuatro raíces imaginarias.

43. Muestre que x5 + 2x - 3 = 0 tiene cuatro raíces imaginarias.

44. Muestre que x3 + 2x + 3 = 0 tiene dos raíces ima­ginarias.

45.    Teorema de cotas El ejemplo siguiente representa el método que se emplea para demostrar el teo­rema de cotas en general para el caso c < 0. Justifique cada uno de los pasos. Se utilizará

        f(x) = (negativo)(negativo) + 169

= positivo + positivo = positivo

d) Y por tanto, si .x < -5, entonces f(x) =/= 0.

46.   Muestre que si f(x) es una función polinomial de grado impar, entonces tiene por lo menos un cero real. Sugerencia: ¿por qué la gráfica cruza el eje x (cuál es su recorrido)?