EJEMPLO 7 Acomode cuatro medias aritméticas entre 4 y 10.

Solución     Contando los dos números 4 y 10 y las cuatro medias aritméticas entre ellos, se tiene n = 6. También se tiene a = 4 y b = 10, por lo que

Las cuatro medias aritméticas entre 4 y 10 son

La media aritmética de n números cualesquiera c1, c2, c3,  . . . , cn se define por

ya sea que los n números formen o no una sucesión aritmética. La media aritmética de los siete números 13, 15, 16, 16, 18, 20 y 21 es

NOTA    Hallar la media aritmética de n números es una cosa. Otra cosa totalmente distinta es insertar n ‑ 2 números entre dos números dados de tal modo que los n números resultantes formen una sucesión aritmética.

Sucesiones armónicas

La sucesión formada por los recíprocos de los términos de una sucesión aritméti­ca recibe el nombre de sucesión armónica. Por ejemplo, ya que

entonces

En general, si w, x, y, . . . , z es una sucesión aritmética en la que ningún término es igual a cero, entonces

es una sucesión armónica.

Es interesante el hecho de que si cuerdas del mismo peso se someten a la mis­ma tensión, lo que producen es un sonido armonioso o placentero si sus longitu­des forman una progresión armónica. Dicho con pocas palabras, esto se debe a varias cosas. Dos notas producirán un sonido placentero si, por ejemplo, tienen frecuencias cuyos cocientes son 5 a 4 para un tercio mayor, 4 a 3 para un cuarto, 3 a 2 para un quinto y 2 a 1 para una octava. La frecuencia (vibraciones por se­gundo) y el periodo de un tono son recíprocos el uno del otro, excepto por un múltiplo constante. En una cuerda dada, el periodo es proporcional a la longitud. Así, si las longitudes están en progresión armónica, los periodos también estarán en progresión armónica y las frecuencias estarán en progresión aritmética, como 500, 400, 300, 200 y 100.

De la definición de progresión armónica se deduce la regla siguiente:

Regla para determinar el n‑ésimo término de una sucesión armónica                      

A fin de determinar el n‑esimo término de una sucesión armónica se escribe la sucesión aritmética correspondiente, se halla el n‑ésimo término de la sucesión aritmética y se calcula su recíproco.

 

Los términos ubicados entre dos términos cualesquiera de una sucesión ar­mónica se    llaman medias armónicas.

EJEMPLO 8     ¿Cuál es el décimo término de una sucesión armónica si el primero y el tercer términos son

Solución El primero y tercer términos de la sucesión aritmética correspondiente son 2 y 6. Por tanto, an = a + (n ‑ 1)d con n = 3 se convierte en 6 = 2 + 2d, y en conse­cuencia d = 2. Por tanto, sin = 10, a10 = 2 + (10 ‑ 1)2 = 20. Calculando el re­cíproco de 20 de halla que el décimo término de la sucesión armónica es . Como d = 2, los primeros tres términos de la sucesión aritmética son 2, 4 y 6, por lo que la media armónica de Obsérvese que la media aritmética de es

A continuación se mencionará un uso de las medias armónicas. Supóngase que la distancia entre dos campamentos es de 9 mi. Si el viaje en una dirección se hace a 20 mi/h y en la dirección contraria 30 mi/h, ¿cuál es la rapidez prome­dio del viaje completo? Empleando distancia = (rapidez)(tiempo) en la forma r = d/t y t = d/r, se obtiene

La rapidez promedio es la media armónica de 20 y 30. Véase también el problema 66 de la sección 11.2.

Notación sigma de la suma

Si se desea indicar la suma de varios números, puede utilizarse la siguiente mane­ra abreviada de indicar una suma:

El símbolo es la letra griega mayúscula sigma. La letra k es el índice de la su­matoria y en su lugar puede utilizarse i, j o cualquiera otra letra. Con el objeto de hallar la suma indicada, k se sustituye por 1, 2, . . . , n y se suman los términos.

La fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión se puede escribir en la forma

que es de hecho la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética. Esta notación se puede emplear también con los polinomios escribiendo

Hay ocasiones en las que la mayor parte de los términos se cancelan uno con otro, como sucede en la suma telescópica:

En la sección 11.3 se analizarán las series infinitas partiendo de la sucesión de su­mas parciales.

EJERCICIO 11.1

Escriba los n términos de la sucesión aritmética que se describe en cada uno de los problemas 1 a 12.

1. a1 =3, d = 4, n = 5

2. a1 =2, d = 5,n = 4

3. a1=7, d = -3, n = 4

4. a1 =17, d = ‑2, n = 6

5. a1 = 5, a2 = 7, n = 5

6. a1 = ‑2, a3 = ‑8, n = 4

7. a1 = ‑5, a3 = 1, n = 4

8. a1 =11, a2 = 8, n = 5

9. a3 = 8, a4 = 11, n = 5

10. a2 =3, a4 = ‑3, n = 6

11. a2 = 0, as = ‑6, n = 6

12.a3 = 7, a6 = 13, n = 7

En los problemas 13 a 24 halle la cantidad que se da a la derecha utilizando los valores dados en las fór­mulas del n‑ésimo término y de la suma de una su­cesión aritmética.

13. a = 1, n = 6, d = 2; an

14. an = ‑5,a = 7,n = 7;d

15. n = 5, d = 4, an = 5;a

16. a = 13, d = ‑4, an = ‑7; n

17. a = 2, an = 14,n = 7, Sn

18. a = 14,an = 2, S„= 56;n

19. Sn = 51, n = 6, a = 1; an

20. n = 7, a, = 20, Sn = 77; a

21.a = 9, d = ‑3, S„= O;n

22.Sn = 15, n = 6, a = 10;d

23. n = 7, d = ‑3, Sn = 28; a

24. a = 17,Sn =35, d= ‑4;n

Halle las dos cantidades an, a, n, d o Sn que faltan

en cada uno de los problemas del 25 al 36.

25. a =‑ 6, d  = 3, n = 7

26. a = 12, d = ‑3, n = 7

27. a = 18, n = 6, an = ‑2

28. a =19, an = ‑11,d = ‑5

29.a = 12, an =3, S„= 52.5

37. Calcule el valor de la suma de todos los enteros pares entre 5 y 29.

38. Halle la suma de todos los múltiplos de 3 entre 2 y 43.

39. Halle la suma de los primeros n múltiplos positi­vos de 4.

40. Halle la suma de los primeros n múltiplos positi­vos de 5.

41. Halle el valor de x si 2x + 1, x ‑ 2 y 3x + 4 son términos consecutivos de una sucesión aritmética.

42.    Calcule el valor de x si 3x ‑ 1, 1 ‑ 2x y 2x – 5       son términos consecutivos de una sucesión arit­

43.    mética.

        Determine los valores de x y y si

3x‑y, 2x+y, 4x+3, y 3x+3y

44. Muestre que si a, b, c y x, y, z son dos sucesiones aritméticas, entonces a + x, b + y, c + z es tam­bién una sucesión aritmética.

45. ¿Cuántas campanadas dará un reloj en 24 h si sue­na únicamente en las horas exactas, de tal modo que da una campanada a la 1, dos campanadas a las 2, tres a las 3, . . .?

46. Si un cuerpo compacto cae 16 ft durante el pri­mer segundo, 48 ft durante el siguiente segundo, 80 ft durante el tercero y así sucesivamente, ¿qué distancia caerá durante el séptimo segundo? ¿Y durante los primeros siete segundos?

47. Una bomba se lanza desde una altura de 10 000 ft. Despreciando la resistencia del aire, calcule el tiempo que     empleará en llegar al suelo. Consulte el problema 46.

48. Susan obtuvo una calificación de 64 durante la pri­mera prueba y en cada examen sucesivo su califi­cación fue aumentando en 7 puntos con respecto al examen previo. ¿Qué calificación obtuvo en el quinto examen, y cuál fue su calificación prome­dio en los cinco exámenes?

49. Una máquina cuyo costo fue de 5800 dólares se depreció 15% el primer año, 13.50% el segundo año, 12% el tercero, etc. ¿Cuál era su valor al ca­bo de 9 años, si todos los porcentajes se aplica­ron al costo original?

50. Si Owen compró una pintura el 14 de junio de 1988 en 7000 dólares y la vende el 14 de junio de 1992 en 15 400 dólares, y el aumento anual del va­lor es 100 dólares más que el del año anterior, cal­cule el valor que tendrá la pintura el 14 de junio de 1994.

51. Calcule la longitud aproximada de un rollo de pe­lícula que tiene un espesor de 0.01 cm si se enro­lla en un carrete de 6 cm de diámetro cuyo eje central es de 2 cm de diámetro. Considere que la película está enrollada en círculos concéntricos.

52. Un anaquel con latas tiene 18 latas en la fila inferior, 17 en la que sigue, 16 en la tercera, y así su­cesivamente. Si hay 12 filas de latas, ¿cuántas latas hay en total?

53. Acomode tres medias aritméticas entre 3 y 15.

54. Halle cinco medias aritméticas entre 3 y 15.

55. Acomode cuatro medias aritméticas entre 10 y ‑10.

56. Acomode seis medias aritméticas entre 18 y 7.5.

En los problemas 57 a 64 utilice la sucesión aritmé­tica correspondiente.

57. Halle el sexto término de la sucesión armónica

58. Halle el octavo término de la sucesión armónica

59.  Halle el séptimo término de la sucesión armónica

60. Halle el sexto término de la sucesión armónica 3, 1

61. ¿Cuál es el primer término de una sucesión armó­nica cuyo tercer término es y el noveno término es ?

62. ¿Cuál es el octavo término de una sucesión armó­nica cuyo segundo término es 2 y el quinto térmi­no es ‑2?

63. ¿Cuál es el sexto término de una sucesión armó­nica cuyo tercer término es ‑1 y el octavo térmi­no es ?

64. ¿Cuál es el décimo tercer término de una sucesión armónica cuyo tercer término es 12 y el octavo tér­mino 2?

65. Muestre que la media armónica entre a y b es

66. Muestre que

log 2, log 6, log 18, log 54, log 162

es una sucesión aritmética.

69.   El segundo término de una sucesión aritmética es igual a ‑5, y la diferencia entre el sexto y el cuar­to términos es 6. Muestre que la suma de los diez primeros términos de la sucesión es 55.

70.   Muestre que la suma     

  1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + ‑ 171 + 173 = 87

71.   Demuestre que si los números                  

forman una sucesión aritmética, entonces los números a2, b2, c2 también constituyen una sucesión aritmética.

72.   Muestre que si a, b, c, d, e forman una sucesión aritmética, entonces                  

                 a ‑ 4b + 6c ‑ 4d + e = 0

En los problemas 73 a 76 muestre que la media arit­mética de las raíces de ¦(x) = 0 es igual a la media aritmética de las raíces de g(x) = 10.

73. ¦(x) =  x3 + 4x2 + x ‑6

              = (x ‑ 1)(x + 2)(x +3) = 0

      g(x) =  3x2 + 8x + 1 = 0

74. ¦(x) =  2x3 + x2 ‑ 18x – 9

             = (2x + 1)(x‑3)(x+3)=0

     g(.x) =  6x2 + 2x ‑ 18 = 0

75. ¦(x) =  12x3 ‑ 8x2 ‑ 3x + 2

             = (3x ‑ 2)(2x ‑ 1)(2x + 1) = 0

     g(x) =  36x2 ‑ 16x ‑ 3 = 0               

 76. ¦(x) = 6x3 + 5x2 ‑ 7x – 4

              = (3x + 4)(2x + 1)(x ‑ 1)

= g(x) = 18x2 + 10x ‑ 7

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