12.5 Probabilidad

La probabilidad tuvo sus orígenes hacia la mitad del siglo XVII debido a un desa­cuerdo con respecto a un juego de dados. Un hombre acaudalado, Antoine Gom­baud, Caballero de Méré, formuló a Blas Pascal una pregunta acerca de obtener un total de 12 con dos dados. Eso motivó que Pascal y Fermat mantuviesen una correspondencia que, en esencia, se puede considerar como el origen de la teoría de la probabilidad. En la actualidad es una disciplina diversificada con aplicacio­nes en las ciencias sociales y naturales y que se emplea no sólo por los apostadores sino también por los estadísticos, economistas, compañías de seguros, ingenieros y muchos otros.

Hay 52 resultados posibles si se toma una carta de un mazo estándar. Hay

maneras en las que se pueden elegir cinco cartas del mazo. Hay tres resultados posibles al final del tiempo de juego en el basquetbol.

En general, si se lleva a cabo un evento o experimento existe un conjunto de resultados posibles. Al conjunto de todos los resultados posibles se le llama espacio muestral. Cada uno de los elementos del espacio muestral recibe el nombre de punto muestra o resultado. Cualquier subconjunto de un espacio muestral se llama evento. Por ejemplo, si se lanza un dado, en su cara superior puede mostrar un 1, 2, 3, 4, 5 o un 6. Esto quiere decir que el espacio muestral es el conjunto {l, 2, 3, 4, 5, 6}y cualquiera de estos elementos es un resultado o punto muestra. Además, cualquier combinación o subconjunto de ellas es un evento.

Si un dado está bien hecho (no está cargado) y se lanza con honestidad, tiene las mismas posibilidades de que en su cara superior aparezca cualquiera de sus seis números. Así, cada uno de los resultados es igualmente probable, y se dice que el resultado es aleatorio. En esta sección se supondrá que

Todos los resultados de los experirnentos son igualrnente probables

En esta sección se empleará la notación que sigue:

      Sólo se considerarán los espacios muestrales que tengan un número finito de resultados, de tal modo que n(S) es finito por hipótesis. Con el supuesto de que cada resultado es igualmente probable, la probabilidad de un evento E se define por

(12.4)

Esto es equivalente a decir que la probabilidad de cada resultado es igual a 1 /n(S). Como 0 n(E) n(S), se infiere que

0 p(E) 1                       para todo evento E

EJEMPLO 1      Si se extrae una carta de un mazo estándar de 52 cartas, halle la probabilidad de que la carta sea un jack.

Solución     S = {x/x es una carta de un mazo de 52 cartas}. Por tanto, n(S) = 52. Además,

                   E = {jack de jotos, jack de corazones, jack de diamantes, jack de tréboles}; por tanto, n(E) = 4. Entonces,

EJEMPLO 2      Halle la probabilidad de obtener en total un número primo si a) se lanza 1 dado y b) se lanzan 2 dados.

Solución a) Se tiene n(S) = 6, E = {2, 3, 5} y n(E) = 3, por lo que p(E)

b) En la tabla de abajo se enlistan todas las posibilidades. Se tiene que n(S) = 6 . 6 = 36. Los números primos del 2 al 12 son 2, 3, 5, 7 y 11, y en la tabla se ha subrayado cada suma prima. Haciendo el conteo se ve que n(E) = 15. Por tanto, p(E)  

Los métodos de conteo vistos en las dos secciones anteriores pueden ser he­rramientas valiosas en el cálculo de probabilidades. Recuérdese que una combina­ción es un subconjunto sin importar el orden.

EJEMPLO 3      Halle la probabilidad de extraer 5 cartas negras si se extraen 5 cartas de un mazo de 52 sin reposición.

Solución     El número total de formas de extraer 5 de las 52 cartas es C(52, 5). Como en una baraja hay 26 cartas negras, las 5 negras se pueden extraer de C(26, 5) maneras. Por tanto,

lo cual es aproximadamente 0.0253. Ocurre más o menos 1 vez en 40.

EJEMPLO 4      Si se sacan sin reponerlas, 6 bolas de un recipiente que contiene 7 bolas negras y 5 blancas, ¿cuál es la probabilidad de que 4 sean negras y 2 sean blancas?

Solución      Hay C(12, 6) formas en las que se pueden sacar 6 bolas de un recipiente que con­tiene 12. Además, se pueden sacar 4 de 7 bolas negras de C(7, 4) maneras y se pueden extraer 2 de 5 bolas blancas en C(5, 2) formas. Por tanto, la probabilidad de extraer la combinación indicada es

Sucede más o menos 3 de cada 8 veces.

(1)

si los eventos son disjuntos, o mutuamente exclusivos.

 

EJEMPLO 5      Suponga que x es la ganancia estimada para este año, en un negocio, expresada como un porcentaje de la ganancia del año anterior, según el reporte de un analis­ta de mercados. En la tabla que sigue se hace un resumen de las estimaciones:

   

 Halle la probabilidad de que la ganancia de este año no sea mayor que la ganancia del año pasado.

Solución Como los eventos son disjuntos, la probabilidad es la suma

.12 + .17 + .26 = .55

El teorema acerca de eventos disjuntos se puede generalizar a cualquier nú­mero finito de eventos si se considera (E1 E2) como un solo evento, y luego se suma E3 si se considera (E1 E2 E3) y se suma otro. Si este proceso se continúa, se llega a la conclusión siguiente:

La probabilidad de ocurrencia de uno de un conjunto de eventos similares mutuamente exclusivos en un solo intento es igual a la suma de las probabi­lidades de los eventos separados:

EJEMPLO 6      En una campaña por la alcaldía, los cuatro candidatos A, B, C y D tienen probabilidades de ganar de 0.15, 0.16, 0.24 y 0.42, respectivamente. ¿Cuál es la proba­bilidad de que gane uno de los cuatro?

Solución           Sólo uno de los candidatos ganará, así que

Obsérvese que esta probabilidad es menor que 1, lo cual indica que hay por lo menos otro candidato en la campaña.

Si E es un evento y el evento complementario es E', entonces por definición E' sucede precisamente cuando E no sucede. Entonces E y E' son disjuntos y

1 =p(S)=p(EE')=p(E)+p(E')

Dicho de otra manera, p(E') = 1 - p(E).

EJEMPLO 7  ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga un resultado me­nor que 11?

Solución  La probabilidad de obtener un número menor que 11 es 1 menos la probabilidad de obtener 11 o 12. Al emplear la tabla del ejemplo 2 se ve que

Intentos repetidos de un evento

Supóngase que en una temporada el promedio de bateo de un jugador es de 0.250, y que en cierto juego le toca el turno al bat 5 veces. Si H representa un hit y A representa cualquier otro resultado, entonces la probabilidad de que haga 2 hits en el orden

De hecho, el número de formas en las que puede hacer exactamente 2 hits en sus 5 turnos al bat en este juego es exactamente igual al número de formas de elegir 2 de entre 5 cosas, cuyo número es

Como se dijo antes, la probabilidad de que ocurra una cualquiera de las 10 cosas es dado que son eventos disjuntos, la probabilidad de exactamente 2 hits en 5 turnos al bat es

De manera análoga, se puede hallar que en 5 turnos al bat la probabilidad de exac­tamente

La suma de los decimales, los cuales son aproximaciones, es de 1.001, mientras que la de las fracciones, que son exactas, es igual a 1. Esto concuerda con lo dicho antes en el sentido de que p(S) = 1.

Se puede utilizar un método exactamente igual al anterior para mostrar que si p es la probabilidad de que se lleve a cabo un suceso en un intento, entonces la probabilidad de que el evento ocurra exactamente r veces en n intentos repeti­dos en forma idéntica es

C(n, r)pr(1 - p)n-r                                      (12.5)

EJEMPLO 8      Si la probabilidad de que un misil dé en el blanco es 3/5, calcule la probabilidad de que el misil dé en el blanco

a) exactamente 4 veces en 6 intentos

b) exactamente 8 veces en 12 intentos

Solución a) Utilizando n = 6 y r = 4 se obtiene

Hay muchas cosas que ver acerca de la probabilidad, pero no se dispone aqu del tiempo suficiente para verlas. Por ejemplo,

ya sea que A y B sean disjuntos o no. Y recuérdese que no es necesario que cada resultado sea igualmente probable; considérese, por ejemplo, un par de dados cargados.

Resumen de fórmulas

C(n, r)pr(1 - p)n-r es la probabilidad de que hayan exactamente r ocurrencias en n intentos repetidos si la probabilidad en un intento es p

EJERCICIO 12.5

1.    Si se extrae 1 carta de un mazo estándar de 52 car­tas, ¿cuál es la probabilidad de que sea un dia­mante? ¿Cuál es la probabilidad de que sea una carta roja?

2.    Si se lanza sólo 1 de un par de dados, ¿cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea par? ¿Cuál es la probabilidad de que el nombre del nú­mero tenga 4 letras según se escribe en inglés?

3.    ¿Cuál es la probabilidad de que la carta extraída de un mazo estándar sea un 5, un 6 o un 7? ¿Cuál es la probabilidad de que sea una carta negra?

4.    Si se lanza 1 dado, ¿cuál es la probabilidad x de que el número que aparezca en su cara superior satisfaga x2 >    22?¿Y la probabilidad de que satis­faga 7x + 3 < 19?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que la escritura en inglés del nombre de un mes contenga la letra "R"?

6. ¿Cuál es la probabilidad de que la escritura en inglés del nombre de un entero del 1 al 20 tenga 3 letras?

7.  Si los nombres en inglés de algunos colores son red, orange, yellow, green, blue, indigo y violet, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger uno de estos colores su nombre contenga una "E"?

8. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una vocal si se elige una letra de la oración "la veloz zorra se escapó de los flojos perros cafés"?

En los problemas 9 a 12 suponga que se lanzan dos

dados normales (no cargados).

9.  Halle la probabilidad de obtener una suma de a)  8 y b) 12.

10.  ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea a) 9 26. y b) 5?

11.   Calcule la probabilidad de que la suma sea 7 u 11.

12.  Halle la probabilidad de que la suma sea 2, 3 o 12.

Suponga que las calificaciones de un curso de matemáticas fueron 16 de A, 35 de B, 63 de C, 40 de D y 26 de F. Halle las probabilidades de los eventos en los problemas 13 a 16 con respecto a un estudiante elegido al azar.

13. Una A o una B.                     

14. No una F.

15. Una A, una B o una D.          

16. No una C.

17.   De un mazo se toma una mano de bridge de 13 cartas. Halle la probabilidad de obtener una mano en la que todas las cartas sean 8 o menores (los ases se consideran mayores que 8).

18.   De un mazo se extrae una mano de póquer de 5 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas extraídas sean jack, rey, reina, 10 o as?

19.   De un grupo de 12 hombres y 8 mujeres se van a elegir 3 personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres personas sean hombres?

20.   En un concurso de perros en el que participan 8 poodles, 10 terriers y 14 bulldogs deberán haber cinco finalistas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los finalistas sea un poodle?

21.   Si se va a escoger un total de 8 personas, ¿cuál  es la probabilidad de que sean elegidos 3 mexicanos y 5 canadienses si hay 6 candidatos mexica­nos y 12 candidatos canadienses?

22.   Si en un grupo hay 10 personas que cumplen años   en junio y 6 personas en agosto, ¿cuál es la pro­   babilidad de      escoger 4 personas que cumplen años en junio y 2 personas que cumplen años en agos­ to, si se escogen 6 en total?

23.   Si de un recipiente que contiene 8 bolas verdes y 7 bolas amarillas se sacan 5 bolas, ¿cuál es la probabilidad de que 3 sean verdes y 2 amarillas?

24.   De 15 personas, 8 tienen la enfermedad A y 7 tie nen la enfermedad B. Si se eligen 5 al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 3 tengan la enfermedad A y 2 la enfermedad B?

25.   Si en una elección intervienen los candidatos P, Q, R y S y las probabilidades de ganar son , y para P, Q y R, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que gane S si sólo hay esos cua­tro candidatos?

26.   La probabilidad de que cierto contrato se otorgue a la compañía W es a la X es , y a la Y es  . ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna obten­ga el contrato?

27.   Una caja contiene pañuelos de color lavanda, tur­quesa, magenta, plata y rojo. Si las probabilida­des de elegir una de las 4 primeras son , , , y , cuál es la probabilidad de elegir un pañuelo rojo?

28.  Los 7 enanos están trabajando en el bosque, y las probabilidades de que cada uno de ellos esté ha­ciendo la mayor parte del trabajo son de para Doc, para Grumpy, para Happy, para Sneezy, para Dopey, y para Bashful. ¿Cuál es la probabilidad de que Sleepy esté haciendo la mayor parte del trabajo?

En los problemas 29 a 32 halle la probabilidad de que un evento ocurra exactamente r veces en n intentos si p es la probabilidad de que ocurra en un intento.

33.   Halle la probabilidad de obtener, en 5 lanzamien­tos de una moneda, a) exactamente 3 caras y b) por lo menos 3 caras.

34.  La probabilidad de que un niño llegue a tiempo a que le sirvan sus alimentos es 0.2. Halle la pro­babilidad de que llegue a tiempo a) exactamente 4 veces en 2 días y b) por lo menos 4 veces.

35.  En una bolsa hay 3 bolas blancas, 4 rojas y 5 ne­gras. Se sacan 5 bolas, una por vez, pero después de sacar cada bola ésta se regresa a 'la bolsa. Halle la probabilidad de que en las 5 ocasiones se halla sacado una bola roja.

36.  Si la probabilidad de que un equipo de basquet­bol gane el campeonato un año cualquiera es de 5, halle la probabilidad de que gane exactamente 3 campeonatos en 5 años.

 Los problemas 37 a 40 se refieren al ejemplo 5, en el cual se expresó la ganancia en este año como x% de la ganancia del año pasado. La tabla se reproduce en seguida.                                                                                           

37. ¿Cuál es la probabilidad de que x 75'?

38. ¿Cuál es la probabilidad de que x > 50?

39. ¿Cuál es la probabilidad de que 75 <  x 125?

40.  ¿Cuál es la probabilidad de que 50 < x 100?

41.  Si se lanzan 3 dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 5?