9.2 Sistemas de ecuaciones no lineales

Si un sistema de ecuaciones incluye por lo menos una ecuación no lineal, se le llama sistema no lineal. No obstante que un sistema de ecuaciones lineales sólo puede tener una, ninguna o un número infinito de soluciones, un sistema no lineal no es tan simple. Puede tener, por ejemplo, ninguna, una, dos, tres o cuatro soluciones. Se invita al lector a que dibuje un círculo y una parábola que muestren cada uno de estos cinco casos. Sugerencia: véase el problema 65 del ejercicio 9.2.

Es posible que algunas ecuaciones tengan soluciones complejas, pero como no se pueden representar en las gráficas no las utilizaremos.

A menudo es posible resolver los sistemas no lineales empleando eliminación, sustitución o métodos gráficos. A veces es útil una combinación de sustitución y eliminación mediante suma o resta. Cada solución debe comprobarse en cada una de las ecuaciones dadas.

En esta sección todas las ecuaciones que aparecen en cada sistema son un caso especial de la ecuación general de segundo grado

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F

Veremos cómo resolver ciertos tipos de estos sistemas.

Una gráfica bien hecha ayuda a determinar cuántas soluciones hay, en caso de que hayan, y aproximadamente cuáles son. Es útil recordar las siguientes for­mas estándar de las gráficas:

Ax2+Cy2=F Elipse si A>0, C > 0 y F>0

Ax2-Cy2=F Hipérbola si A>0, C > 0 y F≠,- 0

xy = F Hipérbola si F ≠  0

y = ax2 + bx + c Parábola si a ≠ 0

x = ay2 + by + c Parábola si a ≠ 0

ax + by + c = 0 Línea recta amenos que a = b = 0

Las traslaciones hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo pueden añadir o qui­tar términos lineales de las formas estándar anteriores.

Eliminación por adición y sustracción Ax2 + Cy2 = F

Dos ecuaciones del tipo 

Ax2 + Cy2 = F

En la ecuación 9.1 se empleó la eliminación para resolver un par de ecuaciones lineales. Se puede aplicar el mismo procedimiento a dos ecuaciones de la forma Ax2 + Cy2 = F, donde A y Cpueden ser positivas o negativas, cada una por separado.

EJEMPLO 1     Encuentre la solución del sistema de ecuaciones

Elipse                       2x2 + 3y2 = 21                       (1)

Hipérbola                       3x2 - 4y2  = 23                       (2)

FIGURA 9.5

Solución   De manera arbitraria elegimos y como la variable a eliminar, y procedemos así:

8x2 + 12 y2 = 84 la ecuación (1) se multiplica por 4 (3)

9x2 - 12 y2  = 69 la ecuación (2) se multiplica por 3 (4)

Ahora se suman las ecuaciones (3) y (4):

17x2 = 153   se suman (3) y (4)

x2 = 9 se divide entre 17

x = ±3 se resuelve para x

Luego se sustituye x por 3 o por -3 en (1) y se resuelve para y:

18+3y2=21

3y2 = 3 se suma - 18 a cada lado

y2 = 1 de donde y = ± 1

Por tanto, las soluciones son (3, l), (3, -1), (-3, 1) y ( -3, -1).

COMPROBACIÓN Si en las dos ecuaciones dadas x y y se sustituyen por 3 y 1, respectivamente, en­tonces

18+3=21 de (1)

27 - 4 = 23 de (2)

Las otras soluciones se pueden comprobar en forma similar. En la figura 9.5 se muestran las gráficas de las dos ecuaciones y las coordenadas de sus puntos de intersección. La gráfica de 2x2 + 3y2 = 21 es una elipse, y la gráfica de 3x2 - 4y2 = 23 es una hipérbola, estando el centro de cada una en el origen.

Dos ecuaciones de la forma

Ax2 + Cy2 + Dx = F

Se pueden resolver dos ecuaciones del tipo Ax2 + Cy2 + Dx. = F empleando el método de eliminación para eliminar el término y2=. Esto dará una ecuación cua­. drática en x, cuyas soluciones reales se determinan con facilidad. Los valores de y se calculan luego a partir de cualquiera de las ecuaciones originales.

 

EJEMPLO 2 Resuelva el sistema de ecuaciones

Elipse x2 + 2y2 - 8x = 2           (5)

Hipérbola 2x2 – 5y2 + 4x = 3   (6)

Solución  Se eliminarán los términos en y2

5x2 + 10y2 - 40x = 10 la ecuación (5) se multiplica por 5

4x2 – 10y2 + 8x = 6 la ecuación (6) semultiplica por 2

Sumando estas ecuaciones se obtiene

9x2-32x= 16

9x2 - 32x - 16 = 0 se resta 16 de cada lado

(x - 4) (9x + 4) = 0 se factoriza

x = 4 y x = - soluciones de x

Si en la ecuación (5) se sustituye x por 4, se obtiene

16+2y2-32=2 2y2= 18 y2=9 y=±3

Sin embargo, si en la ecuación (5) se sustituye x por - 4/9 lo que se obtiene es

la cual no da soluciones reales de y. Por tanto, las soluciones son

(4, 3) y (4, -3)

y cada una satisface las dos ecuaciones originales. En la figura 9.6 se muestran las gráficas de  las  ecuaciones  (5) y (6)  junto con   las coordenadas  de sus  puntos de intersección. Obsérvese que si se completa el cuadrado la ecuación (5) se puede reescribir como (x - 4) + 2y2 = 18 y la ecuación (6) se puede reescribir como 2(x + 1)2 – 5y2 = 5. Con estas formas es fácil determinar los centros y las inter­secciones.

Eliminación de una de las variables

En el ejemplo 2 se han resuelto dos ecuaciones del tipo Ax2 + Cy2 + Dx = F eliminando el término y2 y resolviendo una ecuación cuadrática en x. Para resol­ ver dos ecuaciones del tipo Ax2 + Cy2 + Ey = F se procede en forma similar a la del ejemplo 2; es decir, se elimina el término x2 para obtener una ecuación cua­drática en y. Si se tienen dos ecuaciones de la forma Ax2 + Bxy + Dx = F se pue­ de obtener una ecuación cuadrática en x eliminando el término xy. Con dos ecuaciones del tipo Bxy + Cy2 + Ey = F al eliminar el término xy se obtiene una ecuación cuadrática en y.  En los cuatro casos se usa suma o resta para eliminar x o y, y luego

Se resuelve la ecuación resultante con una variable y Se usa cada solución real en cualquiera de las ecuaciones originales

FIGURA 9.6

Eliminación por sustitución

En un sistema de dos ecuaciones con dos variables, si una de las ecuaciones se puede resolver para una de las variables, por ejemplo y, en términos de la otra variable, digamos x, entonces y se puede eliminar sustituyendo en la otra ecua­ción. Así se obtiene una ecuación con la variable x y que se puede intentar resolver. Con cada solución de x se hallan los valores correspondientes de y mediante sustitución.

EJEMPLO 3   Resuelva el sistema de ecuaciones

Elipse                                 x2 + 2y2 = 54      (7)

Recta                                                   2x - y = -9          (8)

usando el método de sustitución.

Solución La gráfica de x2 + 2y2 = 54 es una elipse con centro en el origen e intersecciones y mientras que la gráfica de 2x - y = -9 es una línea rec­ta con pendiente 2 e intersección y igual a 9. En la figura 9.7 se aprecia que deben haber dos soluciones. Es fácil resolver la ecuación (8) para y y obtener

y =2x+9 (9)

Sustituyendo err la ecuación (7) se obtiene

x2 +2(2.x+9)2=54

x2 + 2(4x2 + 36.x + 81) = 54 se desarrolla el cuadrado de 2x + 9

x2 + 8x2 + 72x + 162 = 54 se multiplica por 2

9x2 + 72x + 108 = 0 se combinan términos semejantes

x2 + 8x + 12 = 0 se divide entre 9

(x + 6)(x + 2) = 0 se factoriza

x=-6 o x=-2

FIGURA 9.7

Ahora se emplea y = 2x + 9 con x = -6 y luego con x = -2:

y=2(-6)+9=-12+9=-3 para x -6

y=2(-2)+9=-4+9=5 para x -2

En consecuencia, las soluciones del sistema son (-6, -3) y (-2, 5). Estas solu­ciones se deben comprobar en las ecuaciones originales.

EJEMPLO 4 Resuelva este sistema de ecuaciones por sustitución:

Hípérbola xy = 6                  (10)

Línea recta 5x - 6y = 3         (11)

Solución Cualquiera de las ecuaciones se puede resolver con facilidad para cualquiera de las variables, por lo que arbitrariamente elegimos resolver la ecuación (10) para y. Además, de la misma ecuación (10) se infiere que ni x ni y pueden ser cero.

(12)

FIGURA 9.8

Usando x = 3 en la ecuación (12) se obtiene

y satisfacen cada una de las ecuaciones; véase la figura 9.8. La gráfica de (10) es una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes x y y. La gráfica (11) es una línea recta con intersección x igual a e intersección y igual a -½.

Ecuaciones del tipo

Ax2 + Ay2 + Dx +

 Ey = F

Si cada una de las ecuaciones dadas es del tipo Ax2 + Ay2 + Dx + Ey = F, entonces se pueden eliminar los dos términos de segundo grado por suma o resta y obtener una ecuación lineal en x y y. Luego, esta ecuación se puede resolver  junto con una de las ecuaciones dadas por sustitución, como se verá en el ejem­ plo 5 que sigue. Las gráficas son círculos ya que los coeficientes de x2 y y2-, son iguales.

                 

EJEMPLO 5 Resuelva el sistema de ecuaciones

Círculo                         3x2 + 3y2 + x – 2y = 20                        (13)

Círculo                        2x2 + 2y2 + 5x + 3y = 9                        (14)

 

Solución

Al sustituir esto en la ecuación (14) se obtiene

2x2+2(-x- 1)2+5x+3(-x- 1)=9

2x2+2x2+4x+2+5x-3x-3=9 se multiplica

4x2 + 6x - 10 = 0 se combinan términos semejantes

2x2 + 3x - 5 = 0 se divide entre 2

(2x + 5)(x - 1) = 0 factorización

De la última ecuación se tiene que x = o -2/5 bien x = 1. Los valores correspondientes se determinan a partir de (15), y = -x - I

En consecuencia, las soluciones son (1, -2) y que pueden y deben ser comprobadas en las ecuaciones originales. Las gráficas de los dos círculos se mues­tran en la figura 9.9. Si x = 1 se hubiese empleado en la ecuación (13) en vez de en la ecuación (15), lo que se habría obtenido sería

3+3y2+ 1 -2y=20 o bien 3y2-2y - 16= 0

Esto implica que 0 = (3y - 8)(y + 2), de donde y = o y = -2. Se ve claro en­tonces por qué se debe

Comprobar cada solución en las dos ecuaciones dadas

ya que en este caso (1, )  satisface la ecuación (13) pero no la ecuación (14).

A veces una gráfica ayuda a ver que no existen soluciones. Esto se logra de manera más fácil si se emplean las formas estándar de las gráficas.

FIGURA 9.9

FIGURA 9.10

EJEMPLO 6 Muestre con la ayuda de gráficas que el sistema

x2+y2=4 y x2+y=6

no tiene soluciones.

Solución La gráfica de la primera ecuación es un círculo de radio 2 con centro en el origen. La segunda ecuación es la de una parábola que se abre hacia abajo, estando su punto máximo en (0, 6). En la figura 9.10 se ve que no se intersecan. Si se emplea el método de solución por sustitución se obtienen valores complejos de x.

EJEMPLO 7 El rendimiento anual de cierta inversión es 480 dólares. Si el principal se incre­mentase 2000 dólares y la tasa de interés disminuyese ½, el ingreso anual aumenta­ría 70 dólares. Determine el valor del principal y la tasa de interés.

Solución Si el principal es P y la tasa de interés es r, entonces

Pr = 480 dado

(P + 2000)(r - 0.005) = 550 dado

La primera ecuación se puede resolver para cualquiera de las variables y luego sustituir, pero esto daría lugar a expresiones fraccionarias. En vez de eso, multi­plicando los factores de la segunda ecuación se obtiene

Pr + 2000r - 0.005P - 10 = 550

Sustituyendo Pr por 480 de la primera ecuación se llega a

480 + 2000r - 0.005P - 10 = 550

2000r - 0.005P = 80 se combinan términos

400 000r - P = 16 000 se multiplica por 200

P = 400 000r - 16 000 se resuelve para P

Al sustituir esto en Pr = 480 se ve que

(400 000r - 16 000)r = 480

400 000r2 - 16000r - 480 = 0

10 000r2 - 400r - 12 = 0 se divide entre 40

2500r2 - 100r - 3 = 0 se divide entre 4

Empleando la fórmula cuadrática,

El valor positivo es r = 300/5000 = 0.06, y el principal es P = 480/0.06 = 8000.

EJERCICIO 9.2

Resuelva los problemas 1 a 12 empleando el método de eliminación.      

1.    x2 + y2 = 1

2x2+ 3y2 =2    

2.  x2 + y2 = 2

3x2 + 4y2 = 7

3.   x2 + 4y2 = 5

9x2 - y2 = 8

4. 9x2 + 4y2 = 72

x2 - 9y2 = - 77

5.  x2 + y2 + 2x = 9

x2+4y2+3x= 14

6.  x2 + y2 - 4x = - 2

9x2 + y2 + 18x = 136

7. 9x2 + 4y2 - 17y = 21

  4x2 - y2 - 2y = 1

8. 16x2 - 9y2 - 10y = 0

9x2 + 4y2 + 12y = 1

Sugerencia: en los problemas 9 a 12 utilice elimina­ción con los términos xy.

9.   x2 + xy + 4x = - 4

       3x2-2xy+ x=4

10. x2 - xy + 5x = 4

      2x2 - 3xy + 10x = - 2

11. 2x2 + 3xy + x = -2

3x2 - 2xy + 4x = 1

12.   x2 + 4xy - 7x = 10

       x2+3xy-6x=7

Utilice sustitución para calcular las soluciones reales de los siguientes sistemas de ecuaciones:

13.   x - 2y = - 5                                                                        

x2 - 2y2 = - 23

14.   9x2 + 5y2 = 1

3x - 2y = 1

15.   y2 - 2x = - 2                                                           

       x+2y = 7                                                       

16.   x2 - 6y = 13

x-2y = 5

17.   x2 - 6xy = - 20                   

x-2y2-3y=-4

18.   x2 - 2xy +-y2 = 9

x2+x-y = 4

19.   x2 - 12xy + 2y2 = - 72

       x = 2y2 + 6y

20. 2x2 - 12xy + y2 = - 36

       x=y2+3y

21.  2x2 + y2 = 9

       xy=2

22.   2x2 + 3y2 = 29

xy = 3

23.   x2 + 2xy + 2y2 = 17

       xy = -5

24.  x2 – 6xy + 4y2 = 1

 2xy = 3

En los problemas 25 a 32 muestre que no existen soluciones reales. Esto lo puede hacer algebraica o gráficamente.

25.   x2/4 + y2 = 1

3x+5y= 15

26.   x2/4 + y2/9 = 1

2y=x- 12

27.   x2 - 4y2 = 1

y =3x

28.   4y2 - 25x2 = 100

y=x+ 1

29.   (x-3)2+(y- 1)2=4

(x + 1)2 + (y + 1)2 = 4

30.  x2 + y2 + x + y - 0.5 = 0       

x2+y2-2x-2y + 1 =0  

31. x2/16 - y2 /4 = 1

 x2/9 + y2 /24 = 1

32.  y2 /4 - x2/24 = 1

x2/81 + y2 = 1

Encuentre las soluciones reales de los sistemas de ecuaciones dados en los problemas 33 a 48.

33.  6x2 + 6y2 - 5x + 3y = -1

9x2 + 9y2 - 7x + 4y = -1

34.  x2 + y2 - x + 3y = 0

2x2 + 2y2 + 3x + 5y = -3

35.  3x2 + 3y2 - 13x - y = -2

5x2 + 5y2 - 16x + 4y = 25

36.  x2 + y2 + 2x + 2y = 6

2x2 + 2y2 + 3x + 3y = 10

37.  x2 + y2 = 29

x2 + y = 27

38.  x2 - y2 = 7

x2 - y = 13

39.  xy = -8

3x - 2y = 14

40.  xy = -9

2x + 3y = 3

Sugerencias: en los problemas 41 a 44 utilice eliminación primero con el término constante. Luego resuelva la ecuación resultante para y en términos de x y luego sustituya.

41.  3x2 + 3xy – 2y2 = 1

5x2 + xy - 2y2 = -1

42.  2x2 - 5xy + 3y2 = 5

x2 + 2xy - 2y2 = -2

43. 3x2 + 2xy - 3y2 = 3

4x2 - 2xy - y2 = -4

44.  x2 - 3xy + y2 = -4

2x2 - 4xy + y2 = 4

Sugerencia: en los problemas 45 a 48 elimine el tér­mino xy y luego sustituya a partir de la ecuación lineal resultante.

45. xy + x + y = 11

2xy-3x-3y=-3

46. xy - x - y=O

      3xy-2x-2y=4

47.  2xy + 2x - y = 7                                                        

3xy-2x+3y=5                                                             

48. 4xy + 3x - 2y = 1

5xy+4x-3y=2

En los problemas 49 a 52 recuerde que ax2 + bx + c = 0 tiene exactamente una solución si y sólo si b2-4ac = 0.

49. El punto (2, 4) está sobre la parábola y = x2. Para toda m, la recta y - 4 = m(x - 2) pasa por  el punto (2, 4). Halle el    valor de m tal que la recta y la parábola se intersequen exactamente en un solo punto.

50. El punto (1, -1) está sobre la parábola y = 2x2 - 3. Para toda m, la recta y + 1 = m(x - 1) pa­sa por el punto (1, -1). Encuentre el valor de m tal que la recta y la parábola se intersequen exac­tameme en un solo punto.

51.  Encuentre los valores de b tales que la recta y = 2x + b y el círculo x2 + y2 = 5 se intersequen exactamente en un solo punto.

52.  Calcule los valores de b tales que la recta y = x    + b y la elipse 2x2 + 3y2 = 6 se intersequen exac­ tamente en un solo punto.

53.   Encuentre dos números cuya suma sea 15 y cuyo producto sea 56.

54.   Encuentre dos números tales que la suma de sus cuadrados sea igual a 113 y la diferencia de sus cuadrados sea igual a 15.

55.   La recta x + y = 5, ¿cruza la hipérbola xy = 5?

56.   La recta x + y = 4, ¿cruza la elipse 4x2 + 9y2 = 36?

57.  Loewe vendió un tapete cuadrado y además un ta­pete  rectangular cuya longitud era de su anchura. El área combinada de los dos tapetes era de 405 ft2. El precio del primer tapete era 10 dólares por yarda cuadrada y del segundo era 12 dólares por yarda cuadrada. Si Loewe recibió 10 dólares más por la pieza cuadrada que por la rectangular, halle las dimensiones de cada pieza.

58. El costo de la pintura para una caja rectangular          con base cuadrada y parte superior abierta (es de­cir, sin tapa), es 0.24 dólares por yarda cuadrada para la base y 0.16 dólares por yarda cuadrada pa­ ra los lados. Toda la pintura cuesta 27.84 dólare. Calcule las dimensiones de la caja si el área combinada de la base y los lados es de 156 yd2.

59.  Un rectángulo con una superficie de 48 ft2 está ins­crito en un círculo de área 78 ft2. Calcule las di­mensiones del rectángulo. (Tome  = )

60.  Un potrero rectangular cuya área es 6400 rods2 (1rod = 16.5 ft) está dividido en tres potreros más pequeños mediante dos cercas paralelas a los la­ dos más cortos. La anchura de los dos potreros pequeños es la misma y la anchura del tercer po­ trero es el doble de la de los otros dos. Calcule las dimensiones del potrero original si el períme­tro de la subdivisión más grande es 240 rods.

61.  Una asociación cívica adoptó un proyecto que le costaría 960 dólares. Antes de que se completase el proyecto se unieron 16 miembros nuevos a la asociación y convinieron en pagar la parte que les correspondería del costo del proyecto. De esta ma­nera, el costo por asociado se redujo en 2 dóla­res. Calcule el número original de miembros y el costo original por miembro.

62.   Linda trabajó 90 días durante el verano. Trabajó 570 h durante los primeros 60 días y ganó 1920 dólares por el turno de día y 450 dólares por el turno de noche. Durante los últimos 30 días tra­bajó 8 h en el turno de día y 3 h en el turno de noche y ganó 1410 dólares. Calcule sus salarios por hora en los turnos de día y de noche.

63.   Una pieza de alambre de 152 in de longitud se cor­ta en dos partes. Una de las piezas se cierra for­mando un círculo y la otra un cuadrado. Si las dos áreas suman 872 in', calcule el lado del cuadrado y el radio del círculo.

64.   Una alberca tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo en cada extremo. El área de la al­berca es 127 A yd 2 y su perímetro es de 4óo yd. Cal­cule la anchura y la longitud total de la alberca.

65.     Dibuje las gráficas de la parábola y el círculo

y=4(x-2)2-2                                     y      x2+y2= 1

y vea por qué no se intersecan. Muestre en forma gráfica que al trasladar el círculo más y más ha­cia la derecha, de tal manera que su centro cambie de (0, 0) a (2, 0), el número de puntos de intersección puede ser 0, 1, 2, 3 o 4.