CAPÍTULO

1

INTRODUCCIÓN A LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 Definiciones y terminología

1.2  Problemas de valor inicial

1.3  Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

       Ejercicios de repaso

INTRODUCCIÓN

Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 5x + 4 = 0 con la variable x, en este curso vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y" + 2y' + y = 0, para conocer la función y. Pero antes de comenzar cualquier cosa, el lector debe aprender algo de las definiciones y terminología básicas en este tema.

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

•  Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales • Orden de una ecuación

•  Ecuaciones lineales y no lineales •  Solución de una ecuación diferencial

•  Soluciones explícitas e implícitas • Solución trivial • Familia de soluciones

•  Solución particular • Solución general • Sistemas de ecuaciones diferenciales

 

El problema al que nos encararemos en este curso no es "dada una función y = Ø(x), determinar su derivada". El problema es "dada una ecuación diferencial, como la ecuación 1, ¿hay algún método por el cual podamos llegar a la función desconocida y = Ø(x)?"

DEFINICIÓN 1.1 Ecuación diferencial

Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

Clasificación según el tipo   Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente; entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo,

son ecuaciones en derivadas parciales.

Clasificación según el orden    El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,


es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación (y ‑x) dx + 4x dy = 0 se puede escribir en la forma

si se divide entre la diferencial dx, es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los símbolos

F(x, y, y', . . ., y(n)) = 0.           (2)

En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la derivada de orden máximo, y(n), de una ecuación diferencial de orden n, como la ecuación (2); esto es,

y(n) =ƒ(x,y, y’,..., y(n‑1)).

Clasificación según la linealidad o no linealidad    Se dice que una ecuación dife­rencial de la forma y(n) =ƒ(x,y, y’,..., y(n‑1)) es lineal cuando ƒ es una función lineal de y, y', . . ., y(n–1). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma

En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferen­ciales lineales:

i)  La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1.

ii) Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente.

Las funciones de y como sen y o las funciones de las derivadas de y, como ey no pueden aparecer en una ecuación lineal. Cuando una ecuación diferencial no es lineal, se dice que es no lineal. Las ecuaciones

son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otro lado,

son ecuaciones diferenciales no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente.

Soluciones   Como dijimos, uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.

DEFINICIÓN 1.2    Solución de una ecuación diferencial

Cuando una función Ø, definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo.

En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación (2), es una función Ø con al menos n derivadas y

F(x, Φ(x), Φ'(x), . . ., Φ(n)(x)) = 0 para todo x en I.

Se dice que y = Φ(x) satisface la ecuación diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a, b], infinito, (a, ∞), etcétera. Para nuestros fines, también supondre­mos que una solución Φ es una función de valores reales.

EJEMPLO 1   Comprobación de una solución

Comprobar que y = x4/16 es una solución de la ecuación no lineal

en el intervalo (‑∞,∞).

SOLUCIÓN    Un modo de comprobar que la función dada es una solución es escribir la ecuación diferencial en la forma dyldx – xy1/2 = 0, y ver, después de sustituir, si la suma dyldx – xy1/2 es cero para toda x en el intervalo. Con,

vemos que

para todo número real. Obsérvese que y1/2 = x2/4 es, por definición, la raíz cuadrada no negativa de x4/16

EJEMPLO 2   Comprobación de una solución

La función y = xex es una solución de la ecuación lineal

Y” - 2y’ + y = 0

en el intervalo (‑∞,∞). Para demostrarlo, sustituimos

y' = xex + ex         y          y" = xex + 2ex.

Vemos que

y" ‑ 2y' + y = (xex + 2ex) ‑ 2(xex + ex) + xex = 0

para todo número real.

No toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene, necesariamente, una solución. Para resolver el problema 51 de los ejercicios 1.1, el lector debe meditar en lo anterior.

Soluciones explícitas e implícitas   Al estudiar cálculo uno se familiariza con los términos funciones explícitas e implícitas. Como algunos métodos de solución de ecuaciones diferenciales pueden llevar directamente a estas dos formas, las soluciones de las ecuaciones di­ferenciales se pueden dividir en soluciones explícitas o implícitas. Una solución en que la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explícita. Para nuestros fines, podemos decir que una solución explícita es una fórmula explícita y =Φ(x) que podemos manipular, evaluar y diferenciar. En la descripción inicial vimos que es una solución explícita de dyldx = 2xy. En los ejemplos 1 y 2, y = x4/16 y y = xex son soluciones explícitas de dyldx = xy1/2 y y" ‑ 2y' + y = 0, respectivamente. Obsérvese que, en los ejemplos 1 y 2, cada ecuación diferencial tiene la solución constante y = 0, ∞ < x < ∞. Una solución explícita de una ecuación diferencial, que es idéntica a cero en un intervalo I, se llama solución trivial. Una relación G(x, y) = 0  es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación (2), en un intervalo I, siempre y cuando exista al menos una función que satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x, y) = 0 define implícitamente a la función Φ.

EJEMPLO 3   Comprobación de una solución implícita

La relación x2 + y2 ‑ 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial

en el intervalo ‑2 < x < 2. Derivando implícitamente obtenemos

Al despejar el símbolo dyldx de la última ecuación se obtiene la ecuación (3). Además, el lector debe comprobar que las funciones satisfacen la relación (en otras palabras, que x2 + y12 ‑ 4 = 0 y x2 + y22 ‑ 4 = 0) y son soluciones de la ecuación diferencial en ‑2 < x < 2.

Toda relación de la forma x2 + y2 ‑ c = 0 satisface formalmente la ecuación (3) para cualquier constante c; sin embargo, se sobreentiende que la relación siempre debe tener sentido en el sistema de los números reales. Así, por ejemplo, no podemos decir que x2 +y2 + 4 = 0 sea una solución implícita de la ecuación. (¿Por qué no?)

Debe quedar intuitivamente clara la distinción entre una solución explícita y una implícita, porque en lo sucesivo ya no haremos la aclaración "es una solución explícita (o implícita)"

Más terminología   El estudio de las ecuaciones diferenciales es semejante al del cálculo integral. A veces, a una solución se le llama integral de la ecuación y a su gráfica, curva integral o curva de solución. En cálculo, al evaluar una antiderivada o una integral indefinida empleamos una sola constante c de integración. En forma parecida, al resolver una ecuación diferencial de primer orden, F(x, y, y') = 0, por lo general obtenemos una solución con una sola constante arbitraria, o parámetro c. Una solución con una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c) = 0 de soluciones y se llama familia monoparamétrica de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial de orden n, F(x, y, y', . . . , y(n)) = 0, se busca una familia n‑paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0. Esto sólo quiere decir que una sola ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparamétrica también satisface la ecuación (1). La solución original corresponde a c = 1 y, por consiguiente, es una solución particular de la ecuación. La figura 1.1 muestra algunas de las curvas integrales de esta familia. La solución trivial y = 0, que corresponde a c = 0, también es una solución particular de la ecuación (1).

 

FIGURA 1.1

EJEMPLO 4    Soluciones particulares

La función y = c1ex + c2e-x es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación lineal de segundo orden y" ‑ y = 0. Algunas de las soluciones particulares son y = 0 (cuando c1 = c2 = 0), y = ex (cuando c1 = 1 y c2 = 0), y y = 5ex ‑ 2e-x (cuando c1 = 5 y c2 = ‑2).

En todos los ejemplos anteriores hemos usado x y y para representar las variables independiente y dependiente, respectivamente. Pero en la práctica, esas dos variables se representan mediante muchos símbolos distintos. Por ejemplo, podríamos representar con t la variable independiente y con x la variable dependiente.

EJEMPLO 5   Uso de distintos símbolos

Las funciones x = c1 cos 4t y x = c2 sen 4t, donde c1 y c2 son constantes arbitrarias, son soluciones de la ecuación diferencial

x" + 16x = 0.

Para x = c1 cos 4t, las primeras dos derivadas con respecto a t son x' = ‑4c1 sen 4t, y x"= ‑16 c1 cos 4t. Al sustituir x" y x se obtiene,

x" + 16x = ‑16c1 cos 4t + 16(c1 cos 4t) = 0.

Análogamente, para x = c2 sen 4t, vemos que x" = ‑16c2 sen 4t, y así

x" + 16x = ‑16c2 sen 4t + 16(c2 sen 4t) = 0.

Por último, es fácil comprobar que la combinación lineal de soluciones -o sea, la familia biparamétrica x = c1 cos 4t + c2 sen 4t ‑ es una solución de la ecuación dada.

En el próximo ejemplo mostraremos que una solución de una ecuación diferencial puede ser una función definida por tramos.

EJEMPLO 6   Solución definida por tramos

El lector debe comprobar que toda función de la familia monoparamétrica y = cx4 es una solución de la ecuación diferencial xy' ‑ 4y = 0 en el intervalo (‑∞, ∞) -Fig. 1.2a‑. La función definida por tramos

es una solución particular de la ecuación, pero no se puede obtener a partir de la familia y = cx4 escogiendo sólo una c (Fig. 1.2b).

En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular.

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