2.4 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN

Sustitución en una ecuación diferencial    Función homogénea  Ecuación diferencial homogénea ■Ecuación general de Bernoulli

Sustituciones Para resolver una ecuación diferencial, reconocemos en ella cierto tipo de ecuación (separable, por ejemplo), y a continuación aplicamos un procedimiento formado por etapas específicas del tipo de ecuación que nos conducen a una función diferenciable, la cual satisface la ecuación. A menudo, el primer paso es transformarla en otra ecuación diferencial mediante sustitución. Por ejemplo. supongamos que se quiere transformar la ecuación de primer orden dy / dx =¦(x, y) con la sustitución y = g(x, u), en que u se considera función de la variable x. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, la regla de la cadena da,

Al sustituir du /dx con¦(.x, y) y y con g(x, u) en la derivada anterior, obtenemos la nueva ecuación diferencial de primer orden

que, después de despejar du / dx, tiene la forma du /dx = F(x, u). Si podemos determinar una solución u = f (x) de esta segunda ecuación, una solución de la ecuación diferencial ordinaria es y = g(x, f(x)).

Uso de sustituciones: ecuaciones homogéneas Cuando una función ¦ tiene la propiedad

¦ (tx, ty) = ta ¦ (x, y)

para un número real a, se dice que ¦ es una función homogénea de grado a; por ejemplo, ¦(x, y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque

¦(tx, ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3) = t3 ¦(x, y),

mientras que ¦(x, y) =x3 +y3 + 1 no es homogénea.

 Una ecuación diferencial de primer orden,

               M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0           (1)

es homogénea si los coeficientes M y N, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si

M(tx, ty) = taM(x, y)      y       N(tx, ty) = taN(x, y).

Método de solución Una ecuación diferencial homogénea como M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 se puede resolver por sustitución algebraica. Específicamente, alguna de las dos sustituciones y = ux, o x = vy, donde u y v son nuevas variables dependientes, reducen la ecuación a una ecuación diferencial separable, de primer orden. Para demostrarlo, sustituimos y = ux y su diferencial, dy = u dx + x, en la ecuación (1):

M(x, ux) dx + N(x, ux)[u dx + x du] = 0.

Aplicamos la propiedad de homogeneidad para poder escribir

xaM(1, u) dx + xaN(1, u)[u dx + x du] = 0

o bien 

que da

Volvemos a insistir en que esta fórmula no se debe memorizar; más bien, cada vez se debe aplicar el método. La demostración de que la sustitución x = vy en la ecuación (1) también conduce a una ecuación separable es análoga.

EJEMPLO 1  Solución de una ecuación diferencial homogénea

Resolver (x2 + y2) dx + (x2 ‑ xy) dy = 0.

SOLUCIÓN Al examinar M(x, y) = x2 + y2 y N(x, y) = x2 ‑ xy vemos que los dos coeficientes son funciones homogéneas de grado 2. Si escribimos y = ux, entonces dy = u dx  y así, después                         de sustituir, la ecuación dada se transforma en

¬división larga

Luego de integrar, el último renglón se transforma en

¬sustitución inversa  u  =  y/x

Aplicamos las propiedades de los logaritmos para escribir la solución anterior en la forma

o, lo que es lo mismo, (x + y)2 = cxey/x.

Aunque se puede usar cualquiera de las sustituciones en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica probaremos con x = vy cuando la función M(x, y) sea más simple que N(x, y). También podría suceder que después de aplicar una sustitución, nos encontráramos con integrales difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; en este caso, si cambiamos la variable sustituida quizá podamos tener un problema más fácil de resolver.

Uso de sustituciones: la ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial

(2)

en que n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. Obsérvese que cuando n = 0 y n = 1, la ecuación (2) es lineal. Cuando n ¹ 0 y n ¹ 1, la sustitución u = y1 -n `reduce cualquier ecuación de la forma (2) a una ecuación lineal.

EJEMPLO   2           Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli

Resolver

 SOLUCIÓN   Primero reformulamos la ecuación como sigue:

dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con n = 2,

 

  ¬regla de la cadena

en la ecuación dada, y simplificamos. El resultado es

El factor integrante para esta ecuación lineal en, por ejemplo (0, ), es

Integramos

y obtenemos

Como y = u-1, entonces y = 1/u y, en consecuencia, una solución de la ecuación es

Nótese que en el ejemplo 2 no hemos llegado a la solución general de la ecuación diferencial no lineal original, porque     y = 0 es una solución singular de esa ecuación.

Uso de sustituciones: reducción a separación de variables Una ecuación diferencial de la forma

(3)

siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables, con la sustitución u = Ax + By + C, B ¹ 0. En el ejemplo 3 mostraremos esa técnica.

EJEMPLO    3      Empleo de una sustitución

Resolver 

SOLUCIÓN    Si hacemos que u = ‑5x +y, entonces duldx =‑5 + dyldx, y así la ecuación dada se transforma en

Separamos variables, empleamos fracciones parciales e integramos:

 ¬se sustituye e61 por c

Al despejar u de la última ecuación para resustituirla, llegamos a la solución

EJERCICIOS 2.4

Resuelva cada una de las ecuaciones en los problemas 1 a 10, con la sustitución apropiada.

1. (x ‑ y) dx + xdy = 0 2. (x + y) dx + xdy = 0

3.  xdx + (y ‑ 2x) dy = 0                       4. ydx = 2 (x + y) dy

5.  (y2 + yx) dx ‑ x2dy = 0                       6. (yz + yx) dx + x2dy =0

Resuelva la ecuación homogénea de cada uno de los problemas 11 a 14, sujeta a la condición inicial respectiva.

14. y dx + x (ln x – lny – 1 dy = 0, y(1) = e

En los problemas 15 a 20 resuelva la ecuación respectiva de Bernoulli empleando una sustitución adecuada.

En los problemas 21 y 22, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli sujeta a la condición inicial indicada.

Use el procedimiento indicado en el ejemplo 3 para resolver cada ecuación de los problemas 23 a 28.

En los problemas 29 y 30 resuelva la ecuación respectiva, sujeta a la condición inicial indicada.

Problemas para discusión

31. Explique por qué siempre es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 en la forma

Puede comenzar escribiendo algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales que tengan esas formas. ¿Estas formas generales sugieren la causa de que las sustituciones y = ux y x = vy sean adecuadas para las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden?

32. La ecuación diferencial

se llama ecuación de Ricatti.

a) Una ecuación de Ricatti se puede resolver con dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conozcamos una solución particular, yl, de la ecuación. Primero emplee la sustitución y = y1 + y, y después describa cómo continuar.

b) Halle una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial

en donde y1 = 2/x es una solución conocida de la ecuación.

Ejercicios de repaso

En los problemas 1 a 14 clasifique (no resuelva) el tipo de ecuación diferencial: si es separable, exacta, homogénea o de Bernoulli. Algunas ecuaciones pueden ser de más de un tipo.

Resuelva la ecuación diferencial en los problemas 15 a 20.

15. (y2 + 1) dx = y sec2x dy

16. y (ln x – ln y) dx = (x ln x – x ln y ‑ y) dy

Resuelva cada uno de los problemas de valor inicial 21 a 26.