CAPITULO         3

MODELADO CON ECUACIONES

DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

3.1     Ecuaciones lineales

3.2    Ecuaciones no lineales

3.3    Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

        Ejercicios de repaso

INTRODUCCION

En la sección 1.3 explicamos que muchos modelos matemáticos, como los del creci­miento demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, las reacciones químicas, un líquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito en serie, son ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora ya podemos resolver algunas de las ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, que surgen con frecuen­cia en las aplicaciones. El capítulo termina con el tema de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden como modelos matemáticos.

ECUACIONES LINEALES

Crecimiento y decaimiento exponencial Periodo medio Datación con radiocarbono 

Ley de Newton del enfriamiento   Mezclas  Circuitos en serie  Término transitorio 

Término de estado estable

Crecimiento y decaimiento El problema de valor inicial

(1)

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En la sección 1.3 describimos que, en biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solución de (1) nos sirve para predecir la población en el futuro    –esto es, para t > 0–. En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química, la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1).

       La constante de proporcionalidad k, en (1), se puede hallar resolviendo el problema de valor inicial, con una determinación de x en un momento t1> t0.

EJEMPLO 1  Crecimiento bacteriano

Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida de bacterias es 3/4No. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacte­rias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microor­ganismos.

SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial

(2)

sujeta a N(0) = N0. A continuación se define la condición empírica N(1) = ¾ No para hallar k, la constante de proporcionalidad.

Con ello, la ecuación (2) es separable y lineal, a la vez. Cuando se escribe en la forma

podemos ver por inspección que el factor integrante es e-kt. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por ese factor y el resultado inmediato es


Integramos ambos lados de la última ecuación para llegar a la solución general

e‑kt N = c, o sea N(t) = ce‑kt

Cuando t = 0, N0 = ce0 = c y, por consiguiente, N(t) = N0ekt  Cuando t = 1, entonces ¾ No = Noek, o bien ek = ¾  Con la última ecuación obtenemos k = In ¾  = 0.4055. Así

N(t) = N0e0.4055t,

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, despejamos t de 3N0 = N0e0.4055t; por consiguiente, 0.4055t = In 3, y así

En el ejemplo 1 obsérvese que la cantidad real, N0, de bacterias presentes en el momento t = 0, no influyó para la definición del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara. El tiempo requerido para triplicar una población inicial de 100 o 1 000 000 bacterias siempre es de unas 2.71 horas.

Como muestra la figura 3.2, la función exponencial ekt   se incrementa al aumentar t, cuando k > 0, y disminuye al crecer t cuando k < 0; por ello, los problemas de describir el crecimiento

(sea de poblaciones, bacterias o capitales) se caracterizan con un valor positivo de k, mientras que cuando interviene un decrecimiento (como la desintegración radiactiva), se tiene un valor negativo de k. Por lo anterior, se dice que k es una constante de crecimiento (k > 0) o una constante de descrecimiento o de declinación (k < 0).

Periodo medio En física, el periodo medio es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. Es, simplemente, el tiempo que transcurre para que se desintegre o transmute la mitad de los átomos en una muestra inicial, A0, y se conviertan en átomos de otro elemento. Mientras mayor sea su semivida, más estable es una sustancia; por ejemplo, la semivida del radio Ra‑226, muy radiactivo, es unos 1700 años. En ese lapso, la mitad de determinada cantidad de Ra‑226 se transmuta y forma radón, Rn‑222. El isótopo más común del uranio, el U‑238, tiene periodo medio de 4500 millones de años. Es el tiempo que tarda en transmutarse la mitad de una cantidad de U‑238 en plomo 206.

EJEMPLO 2 Periodo medio del plutonio

Un reactor de cría convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial, A0, de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isótopo, si la razón de desintegra­ción es proporcional a la cantidad presente.

SOLUCIÓN Sea A (t) la cantidad de plutonio que queda en cualquier momento t. Como en el ejemplo 1, la solución del problema de valor inicial

es A(t) = A0ekt. Si se ha desintegrado el 0.043% de los átomos de A0, queda el 99.957%. Para calcular la constante k (o declinación) empleamos 0.99957A0 = A(15), esto es, 099957A0 = A0e15k . Despejamos k y tenemos k = 1/5  In 0.99957 = ‑0.00002867. En consecuencia,

A(t) = A0e –000002867t

Si el periodo medio es el valor que corresponde a A(t) = A0/2, despejando a t se obtiene A0/2 =A0e0.00002867t , es decir, ½ = e-000002867t. De acuerdo a esta ecuación.

Datación con radiocarbono Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría de la datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C‑14 al carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo la absorción del C‑14 sea por respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de C‑14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que el periodo medio del C‑14 radiactivo es, aproximadamente, 5600 años. Por este trabajo, Libby ganó el Premio Nobel de química en 1960. Su método se usó para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.

EJEMPLO 3 Antigüedad de un fósil

Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la centésima parte de la cantidad original de C‑14. Determine la edad del fósil.

SOLUCIÓN El punto de partida es, de nuevo, A(t) = A0ekt. Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que A0/2 = A(5600), o sea, A0/2 = A0e5600k. Entonces, 5600k = In ½  = ‑In 2, de donde k = ‑(In 2)/5600 = ‑0.00012378; por consiguiente

A(t) = A0e-0.00012378t

Tenemos, para A(t) = A0/1000, que A0/1000 = A0e-0.00012378t de modo que ‑0.00012378t = In 1/1000 = ‑ In 1000. Así

En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a unos 9 periodos medios del isótopo, que son unos 50 000 años. Una razón para ello es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C‑14 remanente presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de A°/1000. También, para este método se necesita destruir una muestra grande del espécimen. Si la medición se realiza en forma indirecta, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación normal de fondo. Pero en últimas fechas, los científicos han podido separar al C‑14 del C‑12, la forma estable, con los aceleradores de partículas. Cuando se calcula la relación exacta de C‑14 a C‑12, la exactitud de este método se puede ampliar hasta antigüedades de 70 a 100 000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer antigüe­dades de varios millones de años. A veces, también es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos.

Ley de Newton del enfriamiento En la ecuación (10) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden

en que k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto cuando t > 0 y Tm es la temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 supondremos que Tm es constante

CONTINUAR>>

.