3.2 ECUACIONES NO LINEALES

Modelos demográficos    Rapidez relativa de crecimiento   ■ Ecuación diferencial logística  Función logística

Reacciones químicas de segundo orden

Modelos demográficos Si P(t) es el tamaño de una población en el momento t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPldt = kP para cierta k > 0. En este modelo; la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por

(1)

se supone constante, igual a k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento demográfico. Así, cabe esperar que la razón (1) disminuya a medida que P aumenta de tamaño.

La hipótesis que la tasa con que crece o decrece una población sólo depende del número presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenómenos estacionales (consúltese el problema 18, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como sigue:

(2)

Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos demográficos animales, se llama hipótesis de dependencia de densidad.

Ecuación logística Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. Dicha cantidad se llama capacidad de sustento, o de sustentación, del ambiente. Entonces ¦(K) = 0 para la función ¦ en la ecuación (2) y se escribe también ¦(0) = r. En la figura 3.9 vemos tres funciones que satisfacen estas dos

condiciones. La hipótesis más sencilla es que ¦(P) es lineal; esto es, que ¦P) = c1P + c2. Si aplicamos las condiciones ¦(0) = r y f(K) = 0, tenemos que C = r y c, = ‑r/K, respectivamente, y ¦ adopta la forma ¦(P) = r ‑ (rlK)P. Entonces la ecuación (2) se transforma en

(3)

Si redefinimos las constantes, la ecuación no lineal (3) es igual a la siguiente:

(4)

Alrededor de 1840, P. F. Verhulst, matemático y biólogo belga, investigó modelos mate­máticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que estudió fue la (4), con a > 0 y b > 0. Esa ecuación se llamó ecuación logística y su solución se denomina función logística. La gráfica de una función logística es la curva logística.

La ecuación diferencial dPldt = kP no es un modelo muy fiel de la población cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativos sobre el ambiente (como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible). Esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento demográfico. Según veremos a conti­nuación, la solución de (4) está acotada cuando t ® . Si se rearregla esa ecuación en la forma dPldt = aP ‑ bP2, el término no lineal ‑bP2, se puede interpretar como un término de "inhibición" o "competencia." Asimismo, en la mayor parte de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b.

Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud las pautas de crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Daphnia) y moscas de la fruta (Drosophila) en un espacio limitado.

Solución de la ecuación logística Uno de los métodos para resolver la ecuación (4) es por separación de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dP/P(a ‑ bP) = dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene

Como consecuencia de la última ecuación,

Si P(0) = P0, P0 ¹ a/b, llegamos a c1 = Po /(a ‑ bPo) y así, sustituyendo y simplificando, la solución es

(5)

Gráficas de P(t) La forma básica de la gráfica de la función logística P(t) se puede conocer sin mucha dificultad. Aunque la variable t suele representar al tiempo y casi no nos ocupamos de aplicaciones en que t < 0‑,tiene cierto interés incluir ese intervalo al presentar las diversas gráficas. Según (5), vemos que

La línea de puntos P = al2b de la figura 3.10 corresponde a la ordenada de un punto de inflexión de la curva logística. Para caracterizarlo diferenciamos la ecuación (4) aplicando la regla del producto:

Recuérdese, del cálculo diferencial, que los puntos en donde d2Pldt2 = 0 son posibles puntos de inflexión, pero se pueden excluir P = 0 y P = alb; de aquí que P = al2b sea el único valor posible para la ordenada a la cual puede cambiar la concavidad de la gráfica. Entonces, P'= 0 cuando 0 < P < al2b, y al2b < P < alb significa que P" < 0; por consiguiente, al avanzar de izquierda a derecha la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P = al2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 < P0 < al2b, la gráfica de P(t) toma la forma de una S [Fig. 3.1 Oa)]. Cuando al2b < P0< alb, la gráfica sigue teniendo la forma de S, pero el punto de inflexión está en un valor negativo de t [Fig. 3. 1 Ob)].

Ya vimos la ecuación (4) en la ecuación (9) de la sección 1.3, donde tenía la forma dxldt = kx (n + 1‑ x), k > 0. Esta ecuación diferencial es un modelo razonable para describir la difusión de una epidemia que comienza cuando un individuo infectado se introduce en una población estática. La solución x(t) representa la cantidad de sujetos que contraen la enfermedad en cualquier momento.

EJEMPLO  1        Crecimiento logístico

Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infec­tados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días x(4) = 50.

SOLUCIÓN Suponiendo que nadie sale del campus durante la epidemia, debemos resolver el problema de valor inicial

Sustituimos a = 1000k y b = k en la ecuación (5) y vemos de inmediato que

Usamos la condición x(4) = 50 y calculamos k con esto da como resultado                                

La respuesta es

En la tabla de la figura 3.11b) hay otros valores calculados de x(t).

Curvas de Gompertz Otra ecuación que tiene la forma de la ecuación (2) es una modificación de la ecuación logística

(6)

t (days)

x (number infected)

   

4

50 (observed)

5

124

6

276

7

507

8

735

9

882

10

953

 

en donde a y b son constantes. Por separación de variables se comprueba con facilidad (consúltese el problema 5 en los ejercicios 3.2) que una solución de la ecuación (6) es

P(t) = ealb e-ce ‑bt

en donde c es una constante arbitraria. Cuando b > 0, P ®  ea/b cuando t ® mientras que cuando b < 0 y c > 0, P ® 0 cuando t ® . La gráfica de la función (7) se llama curva de Gompertz y se parece mucho a la gráfica de la función logística. La figura 3.12 muestra dos formas de la gráfica de P(t).

Las funciones como la ecuación (7) surgen, por ejemplo, al describir el aumento o la disminución de ciertas poblaciones, en el crecimiento de tumores, en predicciones actuariales y en el incremento de las utilidades por la venta de un producto comercial.

Reacciones químicas Supongamos que se combinan a gramos de la sustancia A con b gramos de la sustancia B. Si, para formar X(t) gramos de la sustancia C se necesitan M partes de A y N partes de B, los gramos de las sustancias A y B que quedan en cualquier momento son, respectivamente,

Según la ley de acción de masas, la rapidez de reacción se apega a

  

Sacamos a Ml(M + N) como factor común del primer factor, a Nl(M + N) del segundo e introducimos una constante de proporcionalidad, k > 0, con lo cual la ecuación (8) adquiere la forma

(9)

en que a = a(M + N)lM y b = b(M + N)lN. De acuerdo con la ecuación (7) de la sección 1.3, una reacción química que responde a la ecuación diferencial no lineal (9) se llama reacción de segundo orden

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