4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables especiales

■Ecuación auxiliar ■Raíces de una ecuación auxiliar cuadrática

■Formas de la solución general de una ecuación diferencial de Cauchy‑Euler, lineal, homogénea y de segundo orden

■Uso de variación de parámetros

■Ecuaciones diferenciales de orden superior ■Reducción a ecuaciones con coeficientes constantes

La facilidad relativa con que pudimos determinar soluciones explícitas de ecuaciones diferen­ciales lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en general no se consigue.con las ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6, veremos que cuando una ecuación diferencial lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, por lo general, es determinar una solución en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que examinaremos en está sección es una excepción a la regla: se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas y exponenciales. Es más, este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes.

Ecuación de Cauchy‑Euler o ecuación equidimensional Toda ecuación dife­rencial lineal de la forma

 

donde los coeficientes an, an-1, . . . , a0 son constantes, tiene los nombres de ecuación de Cauchy‑Euler, ecuación de Euler‑Cauchy, ecuación de Euler o ecuación equidimensional. La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado k = n, n ‑ 1, . . . , 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la diferenciación, dky/dxk 

 

Al igual que en la sección 4.3, comenzaremos el desarrollo examinando detalladamente las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden

 

La solución de ecuaciones de orden superior será análoga. Una vez determinada la función complementaria yc(x) también podemos resolver la ecuación no homogénea ax2y + bxy + cy = g(x) con el método de variación de parámetros.

Nota

El coeficiente de d2y/dx2 es cero cuando x = 0; por consiguiente, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1 se apliquen a la ecuación de Cauchy‑Euler, concentraremos nuestra atención en determinar la solución general en el intervalo (0, ¥). Se pueden obtener las soluciones en el intervalo (‑¥, 0) sustituyendo t = ‑x en la ecuación diferencial.

Método de solución Intentaremos una solución de la forma y = xm, donde m está por determinar. La primera y segunda derivadas son, respectivamente,

 

En consecuencia

Así, y = xm es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución de la ecuación auxiliar

am(m ‑ 1) + bm + c = 0 o am2 + (b ‑ a)m + c = 0. (1)

Hay tres casos distintos por considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas. En el último caso las raíces serán un par conjugado.

CASO I: raíces reales distintas Sean m1 y m2 las raíces reales de (1), tales que m1¹ m2. ­Entonces y1 = xm1 y y2 = xm2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Así pues, la solución general es

y= c1xm1 + c2xm2 (2)

EJEMPLO 1 Ecuación de Cauchy‑Euler: raíces distintas

Resuelva

SOLUCIÓN En lugar de memorizar la ecuación (1), para comprender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de la ecuación auxiliar y la que obtuvimos en la sección 4.3 las primeras veces es preferible suponer que la solución es y = xm. Diferenciamos dos veces

 

CASO II: raíces reales repetidas Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si m1 = m2), sólo llegáremos a una solución, que es y = xm1. Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2 + (b ‑ a)m + c = 0 son iguales, el discriminante de los coeficientes tiene que ser cero. De acuerdo con la fórmula cuadrática, la raíz debe ser m1 = ‑(b ‑ a)/2a.

Podemos formar ahora una segunda solución, y2, empleando (5) de la sección 4.2. Primero escribimos la ecuación de Cauchy‑Euler en la forma

 

 

Entonces, la solución general es

                          y = c1xm1 + c2xm1 In x             (3)

               

EJEMPLO 2    Ecuación de Cauchy‑Euler: raíces repetidas

Resuelva

SOLUCIÓN     La sustitución y = xm da

 

Para las ecuaciones de orden superior se puede demostrar que si m1 es raíz de multiplicidad k, entonces

xm1, xm1 In x, xm1(In x)2, . . ., xm1(ln x)k‑1

son k soluciones linealmente independientes. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de esas k soluciones.

CASO III: raíces complejas conjugadas Si las raíces de (1) son el par conjugado m1 = α + iβ, m2 = α ‑ iβ, donde α y β > 0 son reales, una solución es

y = C1xα+iβ + C2xα-iβ.

Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de ecuaciones con coeficientes constantes, conviene formular la solución sólo en términos de funciones reales. Vemos la identidad

Xiβ = (eIn x)iβ = eiβ In x

que, según la fórmula de Euler, es lo mismo que

                 x = cos(β In x) + i sen(β In x)

De igual manera,      x-iβ = cos(β In x) - i sen(β In x)

Sumamos y restamos los últimos dos resultados para obtener

                 x + x-iβ = 2 cos(β In x)               y  x – x-iβ = 2i sen(β In x),

respectivamente. Basándonos en que y = C1xα+iβ + C2xα‑iβ es una solución para todos los valores de las constantes vemos, a la vez, para C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = ‑1, que

y1 = xα(x + x-iβ) y y2 = xα(x – x-iβ)

o bien        y1 = 2xα cos(β In x)            y           y2 = 2ixα sen(β In x)

también son soluciones. Como W(xα cos(β In x), xα sen(β In x)) = βx2α‑1 ¹ 0, β > 0 en el intervalo (0, ¥), llegamos a la conclusión .

y1 = xα cos(β In x) y y2 = xα sen(β In x)

forman un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial; por lo tanto, la solución general es

y = xα[c1 cos (β In x) + c2 sen(β In x)]. (4)

EJEMPLO 3    Un problema de valores iniciales

Resuelva el problema de valor inicial

 

 

La gráfica de esa solución, obtenida con ayuda de software, aparece en la figura 4.5.

 


Figura 4.5

A continuación mostraremos un ejemplo de solución de una ecuación de Cauchy‑Euler de tercer orden

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