5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre

El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la figura 5.6, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre En mecánica, se con­

sidera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

 

 

donde b es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento.

Al dividir la ecuación (10) por la masa m, la ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre es d2x/dt2 + (b/m)dx/dt + (k/m)x = 0, o sea

 

El símbolo 2λ sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda m2 + 2λm + w2 = 0 y las raíces correspondientes son

 

Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de λ2w2 Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento e‑λt, λ > 0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

CASO I: λ2w2 c2 > 0. Aquí, se dice que el sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento, b, es grande comparado con la constante de resorte, k. La solución correspondiente de (11) es

 

(13)

 

Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 5.7 muestra dos gráficas posibles de x(t).

CASO II: λ2w2 = 0. Se dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación (11) es x(t) =

x (t) = e‑λt  (c1+ c2t).      (14)

En la figura 5.8 vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen mucho a los de un sistema sobreamortiguado. También se aprecia, según la ecuación (14), que la masa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo más una vez.

CASO III: λ2w2 < 0. Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces MI y m2 son complejas:

 

Entonces, la solución general de la ecuación (11) es

 

(15)

Como se aprecia en la figura 5.9, el movimiento que describe (15) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente e‑λt, las amplitudes de vibración tienden a cero cuando t ® ¥.

 

 EJEMPLO 4 Movimiento sobreamortiguado

Se comprueba fácilmente que la solución del problema de valor inicial

El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobreamortiguado de una masa unida a un resorte. La masa comienza desde una posición 1 unidad abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 1 ft/s.

Para graficar x(t), se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo; esto es, el valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuación (16) se llega a x'(t) – 5/3 e-t +8/3 e-4t así que x'(t) = 0 implica que e3t = T, o sea  t = 2  in T = 0.157. De acuerdo con el criterio de la primera derivada y con la intuición física, x(0.157) = 1.069 ft es, en realidad, un máximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo de 1.069 ft abajo de la posición de equilibrio.

También debemos comprobar si la gráfica cruza al eje t; esto es, si la masa pasa por la posición de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuación x(t) = 0, o e3t = 2/5 tiene la solución t = 2 In 2/5  = 0.305 que es físicamente irrelevante.

En la figura 5.10 mostramos la gráfica de x(t) y algunos de sus valores.

 

 

t

x(t)

1

0,601

1,5

0,370

2

0,225

2,5

0,137

3

0,083

 

EJEMPLO 5 Movimiento críticamente amortiguado

Una masa de 8 lb de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéri­camente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.

SOLUCIÓN

De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da m = 8/32 = 3  slug. Entonces la ecuación diferencial del movimiento es

 

La ecuación auxiliar de (17) es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que m1 = m2 = ‑4. Luego el sistema es críticamente amortiguado y

x(t) = c1e‑4t + C2te‑4-4t. (18)

Al aplicar las condiciones iniciales x(0) = 0 y x'(0) = ‑3 vemos, a su vez, que cl = 0 y c2 = ‑3. Así, la ecuación del movimiento es

x(t) = ‑3te‑4. (19)

Para graficar x(t) procedemos igual que en el ejemplo 4. De x'(t) = ‑3e‑4`(1 ‑ 4t) tenemos que x'(t) = 0 cuando t = 3. El desplazamiento extremo correspondiente es x(3.) = ‑3(3.)e‑1 = ‑0.276 ft. En la figura 5.11 vemos que podemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una altura máxima de 0.276 ft sobre su posición de equilibrio.

 

EJEMPLO 6       Movimiento subamortiguado

Un objeto que pesa 16 lb se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea.

SOLUCIÓN El alargamiento del resorte, después de unir el peso, es 8.2 ‑ 5 = 3.2 ft, de modo que, según la ley de Hooke, 16 = k(3.2), o sea k = 5 lb/ft. Además, m =16/32 = 1 slug y la ecuación diferencial es

 

Las raíces de m2 + 2m + 10 = 0 son m1 = ‑1 + 3i, y m2 = ‑1 ‑3i, lo cual implica que el sistema es subamortiguado y que

x(t) = e-1(c1 cos 3t + c2 sen 3t). (21)

Por último, las condiciones iniciales x(0) = ‑2 y x'(0) = 0 determinan las constantes c1 = ‑2 y c2 = ‑ B, así que la ecuación de movimiento es

 

Forma alternativa de x(t) De manera idéntica al procedimiento que empleamos en la página 200, podemos escribir cualquier solución

 

en la forma alternativa

 

(23)

en donde  y el ángulo de fase 0 queda determinado por las ecuaciones

 

En ocasiones, el coeficiente A e‑λt se denomina amplitud amortiguada de las vibraciones.

Dado que la ecuación (23) no es una función periódica, el número se llama cuasiperiodo y es la cuasifrecuencia. El cuasiperiodo es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). El lector debe comprobar que en la ecuación de movimiento del ejemplo 6,   En consecuencia, una forma equivalente de (22) es