CAPITULO 9

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

9.1 Campos direccionales

9.2 Métodos de Euler

9.3 Métodos de Runge‑Kutta

9.4 Métodos multipasos

9.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior

9.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden

Ejercicios de repaso

INTRODUCCIÓN

Una ecuación diferencial no necesita tener una solución, y aun si la tiene, no siempre podemos expresarla en forma explícita o implícita; en muchos casos tendremos que contentarnos con una aproximación.

Si existe una solución de una ecuación diferencial, ella representa un conjunto de puntos en el plano cartesiano. A partir de la sección 9.2 explicaremos procedimientos que emplean la ecuación diferencial para obtener una sucesión de puntos distintos cu­yas coordenadas (Fig. 9.1) se aproximen a las coordenadas de los puntos de la curva real de solución.

En este capítulo nos centraremos en los problemas de valores iniciales de primer orden: dyldx = f(x, y), y(xo) = yo. Veremos que los procedimientos numéricos para las ecuaciones de primer orden se pueden adaptar a sistemas de ecuaciones de primer orden; en consecuencia, podremos aproximar soluciones de problemas de valores iniciales de orden superior, reduciendo la ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones de primer orden. El capítulo termina con algunos procedimientos para aproximar soluciones de problemas de contorno lineales y de segundo orden.


FIGURA 9.1

9.1 CAMPOS DIRECCIONALES

• Elementos lineales • Campo de direcciones • Campo dependientes • Campo de elementos lineales

Elementos lineales Examinemos la ecuación diferencial de primer orden dyldx = y. Esta ecuación significa que las pendientes de las tangentes a la gráfica de una solución están determinadas por la función f(x, y) = y. Cuando f(x, y) se mantiene constante ‑esto es, cuando y = c, donde c es cualquier constante real‑ estamos obligando a que la pendiente de las tangentes a las curvas de solución tenga el mismo valor constante a lo largo de una línea horizontal; por ejemplo, para y = 2 podemos trazar una serie de segmentos lineales cortos o elementos lineales (cada uno de pendiente 2) con su punto medio en la línea. Como vemos en la figura 9.2, las curvas de solución cruzan esta recta horizontal en cada punto tangente a los elementos lineales.

Isoclinas y campos de direcciones La ecuación y = c representa una familia a un parámetro de líneas horizontales. En general, cualquier miembro de la familia f(x, y) = c se llama isoclina, que literalmente significa curva a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes es igual. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas en que los elementos lineales se construyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo de pendientes o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial dyldx = f(x, y). Según apreciamos en la figura 9.3a), el campo de direcciones recuerda las "líneas de flujo" de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial y' = y. Si deseamos una solución que pase por el punto (0, 1), debemos formar una curva, como se indica en gris en la  figura 9.3b), que pase por este punto de modo que atraviese las isoclinas con las inclinaciones adecuadas.


FIGURA 9.3

EJEMPLO 1 Campo de direcciones

Trace el campo de direcciones e indique varios posibles miembros de la familia de curvas de solución de dyldx = xly.

SOLUCIÓN Antes de trazar el campo de direcciones que corresponde a las isoclinas x/y = c o y = xlc, se debe examinar la ecuación diferencial para cerciorarse de que proporcione la siguiente información.

i)   Si una curva de solución cruza el eje x (y = 0), lo hace tangente a un elemento lineal vertical en cada punto, excepto quizá en (0, 0).

ii)  Si una curva de solución cruza el eje y (x = 0), lo hace tangente a un elemento lineal horizontal en cada punto, excepto quizá en (0, 0).

üi) Los elementos lineales correspondientes a las isoclinas c =1 y c = ‑1 son colineales  con  las rectas y = x y y =  -X, respectivamente. En realidad, y = x y y = -x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada (compruébelo). Obsérvese que, en general, las isoclinas no son soluciones de una ecuación diferencial.

La figura 9.4 muestra el campo de direcciones y varias curvas de solución posibles en gris. Recuérdese que sobre una isoclina todos los elementos lineales son paralelos. También se pueden trazar los elementos lineales de tal manera que sugieran el curso de determinada curva; en otras palabras, podemos imaginar que las isoclinas están tan próximas que si se unieran los elementos lineales tendríamos una curva poligonal que indicara la forma de una curva suave de solución.

EJEMPLO 2 Solución aproximada

La ecuación diferencial dyldx = x2 + y2 no se puede resolver en términos de funciones elementales. Por medio de un campo de direcciones, determine una solución aproximada que satisfaga y(0) = 1.


FIGURA 9.4

SOLUCIÓN Las isoclinas son circunferencias  concéntricas  definidas por x2 +y2 = c, c > 0. Cuando c = ¼, c = 1, c = 9/4 y c = 4 se obtienen circunferencias de radio ½, 1, 3/2 y 2 [Fig. 9.5a)]. Los elementos lineales que se trazan en cada círculo tienen una pendiente que corresponde al valor elegido de c. A1 estudiar la figura 9.5a) parece lógico que una curva de solución aproximada que pase por el punto (0, 1) tenga la forma que se ilustra en la figura 9.5b).


FIGURA 9.5

Uso de computadora El trazo de un campo de dirección es sencillo pero muy tardado; es una de las tareas de las que se puede discutir si vale la pena hacerlas a mano una o dos veces en la vida, pero se pueden efectuar con eficiencia mediante el software adecuado. Si dyldx = xly y se usa el programa idóneo se obtiene la figura 9.6a). Obsérvese que en esta versión computadorizada de la figura 9.4 los elementos lineales se trazan con espaciamiento uniforme en sus isoclinas (que no se dibujan). El campo de direcciones que resulta sugiere aún más la forma de las curvas de solución. En la figura 9.6b), obtenida con un programa ODE solver, hemos sobrepuesto la curva aproximada de solución para la ecuación diferencial del ejemplo 2, que pasa por (0, 1), a su campo de direcciones generado por computadora.


FIGURA 9.6

EJERCICIOS 9.1

En los problemas 1 a 4 use el respectivo campo de direcciones generado por computadora para trazar diversas curvas de solución posibles de la ecuación diferencial indicada.

 

En los problemas 5 a 12 trace u obtenga con computadora el campo de direcciones de la ecuación diferencial dada. Indique diversas curvas posibles de solución.

5. y'=x                   6. y'=x+y