7.2 TRANSFORMADA INVERSA

• Transformada inversa de Laplace • Linealidad • Algunas transformadas inversas

• Uso de fracciones parciales

En la sección anterior nos ocupamos del problema de transformar una función f(t) en otra función F(s) mediante la integral J ~ e s f (t) dt. La representamos simbólicamente de la siguiente manera: T{ f(t)} = F(s). Ahora invertiremos el problema; es decir, dada F(s), hallar la función f(t) que corresponde a esa transformación. Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

 

El análogo del teorema 7.2 para la transformada inversa es el teorema 7.3, que presentamos en seguida.

 

L-11 es una transformación lineal Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si a y ,Q son constantes,

 

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que,y, sin embargo, Pero para nuestros fines no nos ocuparemos de este caso. Si f1 y f2 son continuas por tramos en y de orden exponencial cuando t > 0, y si , las funciones f y f2 son esencialmente iguales. Véase el problema 35, ejercicios 7.2. Sin embargo, si fi y f2 son continuas en , entonces f1 = f2 en dicho intervalo.

 EJEMPLO 1  Aplicación del teorema 7.3

Evalúe

SOLUCIÓN    Para coincidir con la forma que aparece en la parte b) del teorema 7.3, vemos que n = 4, y después multiplicamos y dividimos entre 4!. En consecuencia,

 

EJEMPLO 2 Aplicación del teorema 7.3

Evalúe  

SOLUCIÓN  Como K2 = 64, arreglamos la expresión multiplicándola y dividiéndola entre 8. Según la parte d) del teorema 7.3,

 

EJEMPLO 3   División término a término y linealidad

Evalúe

SOLUCIÓN La función dada de s se puede expresar en dos partes, con un común denominador:

 

De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada inversa y las partes e) y d) del teorema 7.3, tenemos que

 

Fracciones parciales Las fracciones parciales desempeñan un papel importante para determinar las transformadas inversas de Laplace. Como dijimos en la sección 2.1, esta des­composición en fracciones se puede efectuar con rapidez sólo con un comando en algunos sistemas algebraicos computacionales. En realidad, algunos paquetes cuentan con dotados con comandos para la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace. Para los lectores que no tienen acceso a estos programas, en los tres ejemplos siguientes repasaremos las operaciones algebraicas básicas para los tres casos de descomposición en fracciones parciales; por ejemplo, los denominadores de

 

contienen, respectivamente, factores lineales distintos, factores lineales repetidos y una expre­sión cuadrática sin factores reales. Consúltese la descripción más completa de esta teoría en un libro de cálculo infinitesimal.

EJEMPLO 4 Fracciones parciales y linealidad

Evalúe 

SOLUCIÓN   Existen constantes A, B y C únicas, tales que

 

Dado que los denominadores son idénticos, los numeradores deben ser idénticos:

1=A (s+2) (s+4)+B(s‑1)(s+4)+C(s‑1)(s+2).

Comparamos los coeficientes de las potencias de s en ambos lados de la igualdad y tenemos que esta ecuación equivale a un sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas A, B y C; sin embargo, debemos recordar el método siguiente para determinarlas. Si hacemos s = 1, s = ‑2 y s = ‑4, que son los ceros del común denominador (s ‑1)(s + 2)(s + 4), obtenemos, a su vez,

1 = A(3)(5), 1 = B(‑3)(2), 1 = C(‑5)(‑2)

o sea que por consiguiente, podremos escribir

 

y así, según la parte c) del teorema 7.3

 

EJEMPLO 5‑.; Fracciones parciales y linealidad

Evalúe

SOLUCIÓN   Suponemos que

 

de modo que

s+1=As(s+2)3+B(s+2)3+Cs2(s+2)2+Ds2(s+2)+Es2.

Con s = 0 y s = ‑2 se obtienen B = g y E _ ‑ 4, respectivamente. Igualamos los coeficientes de s4, s3 y s llegamos a

0=A+C, 0=6A+B+4C+D, 1=8A+12B,

de donde se sigue que ; por consiguiente, de acuerdo con las partes a), b) y c) del teorema 7.3,

 

En lo anterior también aplicamos del ejemplo 6, sección 7.1.

EJEMPLO 6 Fracciones parciales y linealidad   ‑‑

Evalúe

SOLUCIÓN  Suponemos que .

 

de modo que

3s ‑ 2 = As' (s2 + 4) + Bs(s2 + 4) + C(s2 + 4) + (Ds + E)s3.

Con s = 0 se obtiene de inmediato C = ‑ ?. Ahora bien, los coeficientes de s4, s3, s2 y s son, respectivamente,

0=A+D,   0=B+E,  0=4A+C,  3=4B,

de donde obtenemos  así pues de acuerdo con las partes a), b), e) y d) del teorema 7.3,

 

Según señala el teorema siguiente, no toda función arbitraria de s es ‑.xna transformada de Laplace de una función continua por tramos de orden exponencial.

TEOREMA 7.4 Comportamiento de F(s) cuando s à 00

Si f(t) es continua por tramos en [0, ‑) y de orden exponencial para t > T, entonces líms s à oo L { f(t)}= 0.

DEMOSTRACIÓN Dado que f(t) es continua parte por parte en necesariamente es acotada en el intervalo; o sea, También, cuando t > T. Si M representa el máximo de {MI, M2} y c indica el máximo de {0, y}, entonces

 

para s > c. Cuando s à oo, se tiene que /L{ f(t)}/ à 0, de modo que L {f(t)} à 0.

De acuerdo con el teorema 7.4 podemos decir que no son transformadas de Laplace de funciones continuas por tramos de orden exponencial en virtud de que FI (s) . El lector no debe sacar como conclusión, por ejemplo, que no existe T‑1 {FI (s)}. Hay otros tipos de funciones.

Observación,

Esta observación va dirigida a quienes se les pidan descomposiciones en fracciones parciales a mano. Hay otra forma de determinar los coeficientes en esas descomposiciones, en el caso especial cuando son polinomios, y Q es un producto de factores distintos:

 

Veamos un ejemplo específico. De acuerdo con la teoría de las fracciones parciales, sabemos que existen constantes A, B y C únicas tales que

 

Supongamos que multiplicamos ambos lados de esta ecuación por, digamos, s ‑1, simplifica­mos e igualamos s =1. Como los coeficientes de B y C son cero, obtenemos

 

Expresado de otro modo,

 

en donde hemos sombreado, o cubierto, el factor que se anuló cuando el lado izquierdo de (1) fue multiplicado por s ‑1. No evaluamos este factor cubierto en s =1. Para obtener B y C, tan sólo evaluamos el lado izquierdo de (1) cubriendo, en su turno, a s ‑ 2 y a s + 3:

 

Obsérvese con cuidado que en el cálculo de C evaluamos en s =‑3. Si reconstruye los detalles de la llegada a esta última expresión, el lector descubrirá por qué es así. También debe comprobar con otros métodos que

 

Este método de cubierta es una versión simplificada de algo que se conoce como teorema de desarrollo de Heaviside.

EJERCICIOS 7.2

Aplique el problema 7.3, en los problemas 1 a 34, para determinar la transformada inversa que se pide.

 

 

Problema para discusión

35. Forme dos funciones, f y g, que tengan la misma transformada de Laplace. No busque

complicaciones.