7.4 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS, INTEGRALES Y FUNCIONES PERIODICAS

• Transformada de una derivada • Convolución de dos funciones • Teorema de convolución • Forma inversa del teorema de convolución • Transformada de una integral • Transformada de una función periódica

Nuestra meta es aplicar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Para ello necesitamos evaluar cantidades como por ejemplo, si f1 es continua para t > 0, al integrar por partes obtenemos

 

osea(1)

Para ello hemos supuesto que e-st  f(t) à 0 cuando t àoo. De igual forma, la transformada de

la segunda derivada es

 

o sea (2)

De manera análoga se puede demostrar que

 

(3)

Por los resultados en (1), (2) y (3), se ve que la transformada de Laplace de las derivadas de una función f es de naturaleza recursiva. El siguiente teorema determina la transformada de Laplace de la enésima derivada de f. Omitiremos su demostración.

TEOREMA 7.8 Transformada de una derivada

son continuas en [0, oo), son de orden exponencial, y si f (n)(t) es continua parte por parte en [0, oo), entonces

 

en donde

EJEMPLO 1 Aplicación del teorema 7.8

Obsérvese que la suma kt cos kt + sen kt es la derivada de t sen kt. En consecuencia,

 

Convolución Si las funciones f y g son continuas parte por parte en [0, oo), la convolución de f y g se representa por f * g y se define con la integral

 

Por ejemplo, la convolución de f(t) = et y g(t) = sen t es

 

(4)

Se deja como ejercicio demostrar que

 

Esto es, que f * g = g * f

Véase el problema 29 de los ejercicios 7.4. Esto significa que la convolución de dos funciones es conmutativa.

Es posible determinar la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones sin tener que evaluar la integral como lo hicimos para la ecuación (4). El resultado que veremos se conoce como teorema de la convolución.

TEOREMA 7.9 Teorema de la convolución

Si f(t) y g(t) son continuas por tramos en [0, oo) y de orden exponencial,

 

DEMOSTRACIÓN Sean 

 

y

 

Al proceder formalmente obtenemos

 

Mantenemos fija Ty escribimos de modo que

 

Estamos integrando en el plano tT sobre la parte sombreada de la figura 7.28. Puesto que f y g son continuas por tramos en [0, ‑) y son de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integración:

 

EJEMPLO 2 Transformada de una convolución

Evalúe

SOLUCIÓN Si f(t) = e` y g(t) = sen t, el teorema de la convolución establece que la transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace:

 

Forma inversa del teorema de convolución A veces, el teorema de la convolu­ción es útil para determinar la transformada inversa de Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace. Según el teorema 7.9

 

(5)

EJEMPLO 3 Transformada inversa como convolución      

Evalúe

SOLUCIÓN Podríamos usar el método de fracciones parciales, pero si identificamos entonces

 

Por lo tanto, con la ecuación (4) obtenemos

 

EJEMPLO 4 Transformada inversa como convolución

Evalúe

SOLUCIÓN

 

de modo que

En este caso, la ecuación (5) conduce a

 

(6)

De acuerdo con la trigonometría,

                        cos (A + B) = cos A cos B ‑ sen A sen B

y                        cos (A ‑ B) = cos A cos B + sen A sen B.

Restamos la primera de la segunda para llegar a la identidad

sen A sen B = 2 (cos(A ‑ B) ‑ cos(A + B)).

Si A = kT y B = k (t ‑ T), podemos integrar en (6):

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