7.7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

• Uso de la transformada de Laplace para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales Resortes acoplados •Redes eléctricas

Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas para las funciones transformadas.

EJEMPLO 1  Sistema de ecuaciones diferenciales que se transforma en un sistema algebraico

Resuelva

2x'+ y' – y = t

x' + y' = t2 (1)

sujetas a x(0) = 1, y(0) = 0.

SOLUCIÓN , entonces, después de transformar cada ecuación, llegamos a

 

o sea (2)

Al multiplicar por 2 la segunda de estas ecuaciones y restar se obtiene

 

(3)

Desarrollamos en fracciones parciales

 

y así

 

De acuerdo con la segunda ecuación de (2),

 

Entonces, llegamos a la solución del sistema (1), que es

 

Aplicaciones Pasemos a describir algunas aplicaciones elementales donde intervienen sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las soluciones de los problemas que veremos se pueden obtener tanto por el método de la sección 4.8 como con la transformada de Laplace.

Resortes acoplados Dos masas, m1 y m2, están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes de resorte son k1 y k2, respectivamente, y los resortes se fijan como se ve en la figura 7.55. Sean x1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B queda sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es x2 – x1. Entonces, según la ley de Hooke, vemos que los resortes A y B ejercen las fuerzas –k1x1 y k2(x2 – x1), respectivamente, sobre m1. Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre m1 es –k1x1 + k2(x2 – x1). De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir

 

De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa m2 sólo se debe al alargamiento neto de B; esto es, ‑k2(x2 – x1). En consecuencia,

 

En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden

 

(5)

En el próximo ejemplo resolveremos ese sistema suponiendo que k1 = 6, k2 = 4, m1 = 1, m2 = 1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas.

 

EJEMPLO 2  Resortes acoplados

Resuelva (6)

sujetas a x1(0) = 0, x1'(0) = 1, x2(0) = 0, x2'(0) = ‑1.

SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es

 

Despejamos X1 de las ecuaciones (7) y descomponemos el resultado en fracciones parciales:

 

por lo tanto 

Sustituimos la expresión de X1(s) en la primera de las ecuaciones (7) y obtenemos

 

Y

Por último, la solución del sistema dado (6) es

 

(8)

Redes eléctricas En la ecuación (18) de la sección 3.3, dijimos que las corrientes i1(t) e i2(t) en la red que contiene un inductor, un resistor y un capacitor (Fig. 7.56) están definidas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

 

En el próximo ejemplo resolveremos este sistema aplicando la transformada de Laplace.

EJEMPLO 3    Una red eléctrica

Resuelva el sistema de ecuaciones (9) con las condiciones E(t) = 60 V, L = 1 n, R = 50 Ω, C = 10-4 f y las corrientes i1 e i2 iguales a cero en el momento inicial.

SOLUCIÓN     Debemos resolver

 

sujetas a i1(0) = 0, i2(0) = 0.

Aplicamos la transformación de Laplace a cada ecuación del sistema y simplificamos,

 

en donde . Despejamos I1 e I2 del sistema y descomponemos los resultados en fracciones parciales para obtener

 

Sacamos la transformada inversa de Laplace y las corrientes son

 

Obsérvese que i1(t) e i2(t) en el ejemplo anterior tienden al valor cuando t → ∞. Además, como la corriente que pasa por el capacitor es i3(t) = i1(t) ‑ i2(t) = 60te‑100t observa­mos que i3(t) → 0 cuando t → ∞

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