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SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES

DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES

6.1    Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias

6.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios

6.3 Soluciones en torno a puntos singulares

6.4    Dos ecuaciones especiales

         Ejercicios de repaso

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. La única excepción fue la ecuación de Cauchy‑Euler. En las aplicaciones se observa que las ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no es que más, que las de coeficientes constantes. Como mencionamos en la introducción a la sección 4.7, una ecuación lineal sencilla de segundo orden con coeficientes variables, como es y" + xy = 0, no tiene soluciones elementales. Podemos encontrar dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación pero, según veremos en las secciones 6.2 y 6.4, estas soluciones están representadas por series infinitas.


6.1 REPASO DE LAS SERIES DE POTENCIAS; SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS

• Series de potencias • Radio de convergencia • Intervalo de convergencia

•Analiticidad de las soluciones en un punto •Aritmética de las series de potencias

•Solución en serie de potencias de una ecuación diferencial.

Repaso de las series de potencias No obstante lo que describe la sección 4.7, la mayor parte de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables no se puede resolver en términos de funciones elementales. Una técnica normal para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes variables, es tratar de encontrar una solución en forma de serie infinita. Con frecuencia se puede expresar la solución en forma de una serie de potencias; razón por la cual es adecuado citar una lista de algunas de sus propiedades más importantes. Para un repaso detallado del concepto de series infinitas, consúltese un libro de cálculo infinitesimal.

• Definición de una serie de potencias Una serie de potencias en x ‑ a es una serie infinita de la forma También, se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en a; por ejemplo, es una serie de potencias en x centrada en cero.

•   Convergencia Dado un valor de x, una serie de potencias es una serie de constantes. Si la serie equivale a una constante real finita para la x dada, se dice que la serie converge en x. Si no converge en x, se dice que diverge en x.

•   Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergen­cia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie.

•  Radio de convergencia Todo intervalo de convergencia posee un radio de conver­gencia, R.   Para una serie de potencias de la forma sólo hay tres posibilidades:

i)   La serie sólo converge en su centró a. En este caso, R = 0.

ii)  La serie converge para toda x que satisfaga Ix ‑ al < R, donde R > 0. La serie diverge para Ix ‑ al > R.

iii) La serie converge para toda x. En este caso, R = ¥.

•   Convergencia en un extremo Recuérdese que la desigualdad de valor absoluto Ix ‑ al < R equivale a ‑R < x ‑ a < R o bien a a ‑ R < x < a + R. Si una serie de potencias converge para Ix ‑ al < R, donde R > 0, puede converger o no en los extremos del intervalo a ‑ R < x < a + R. La figura 6.1 muestra cuatro intervalos de convergencia posibles.

•   Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de poten­cias converge absolutamente; en otras palabras, cuando x está en el intervalo de convergencia, la serie de valores absolutos converge.

• Determinación del intervalo de convergencia Muchas veces se puede determinar la convergencia de una serie de potencias mediante el criterio de la razón:

La serie converge absolutamente para aquellos valores de x para los que L < 1. Con esta prueba vemos que el radio de convergencia es

 

(1)

siempre y cuando exista el límite.

•  Una serie de potencias define a una función Para una función dada se puede escribir

cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Si ésta tiene un radio de convergencia    R>0, f es continua, diferenciable e integrable en el intervalo (a ‑ R, a +R). Además, ƒ´(х)e∫ƒ(x)dx se pueden determinar por derivación e integración término a término:

Aunque el radio de convergencia de ambas series es R, el intervalo de convergencia puede ser distinto de la serie original,ya que la convergencia en un extremo se puede perder por diferenciación, o ganar por integración.

• Series que son idénticas a cero Si para todo número real x en el intervalo de  convergencia, entonces cn = 0 para torta n.

• Analiticidad en un punto En cálculo infinitesimal se demuestra que funciones como eX, cos x y 1n(x ‑ 1) se pueden representar por medio de una serie de potencias desarrolladas en series de Maclaurin o dé Taylor. Se dice que una función ƒ es analítica en el punto a si se puede representar por una serie de potencias en x ‑ a, con radio de convergencia positivo. La noción de analiticidad en un punto será de importancia en las secciones 6.2 y 6.3.

• Aritmética de las series de potencias Las series de potencias se pueden manipular mediante las operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos son parecidos al modo en que se suman, multiplican o dividen dos polinomios; esto es, se suman los coeficientes de las potencias iguales de x, se aplica la propiedad distributiva, se agrupan los términos semejantes y es válido llevar a cabo la división larga; por

ejemplo, si las series de potencias convergen ambas cuando ôxô < R, entonces

ƒ (x) + g (x) = (c0+b0) + (c1+b1) x + (C2+b2) x2 + ×××

ƒ (x) g (x) = c0b0 + (c0b1 + c1b0)x + (c0b2 + c1b1 + C2b0)x2 +×××

EJEMPLO 1   Intervalo de convergencia

Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias

SOLUCIÓN    La serie de potencias está centrada en 3. De acuerdo con (1), el radio de

convergencia es

La serie converge absolutamente cuando Ix ‑ 31 < 2, o 1 < x < 5. En el extremo izquierdo,

x = 1, vemos que la serie de constantes es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alterna. En el extremo derecho, x = 5, la serie es la serie armónica (1/n), que es divergente. Así, el intervalo de convergencia es [1, 5).

EJEMPLO 2   Multiplicación de dos series de potencias

Encuentre los cuatro primeros términos de una serie de potencias en x para ex cos x.

SOLUCIÓN     En el curso de cálculo se ve que las series de Maclaurin para eX y cos x son, respectivamente,ç

Al multiplicar y agrupar los términos semejantes se obtiene

              

En el ejemplo 2, el intervalo de convergencia de las series de Maclaurin de ex y cos x es en consecuencia, el intervalo de convergencia para ex cos x expresado como serie de potencias también es

 EJEMPLO 3   División entre una serie de potencias

Halle los cuatro primeros términos de sec x como serie de potencias en x.

SOLUCIÓN    Una opción es emplear la serie de Maclaurin para cos x citada en el ejemplo 2, para después usar la división larga. Como sec x = 1/cos x, entonces

 

 

Por consiguiente,

El intervalo de convergencia de esta serie es (¿Por qué?)                              

Es evidente que los procedimientos aplicados en los ejemplos 2 y 3 son tediosos cuando se hacen a mano. Los problemas de este tipo se pueden resolver con un mínimo de esfuerzo  mediante un paquete computacional con capacidades algebraicas, como Mathematica o Maple. En el primero, se puede evitar la división del ejemplo 3 por medio de la instrucción Se­ries[Sec[x], {x, 0, 8}]. Véanse los problemas 11 a 14 de los ejercicios 6.1.

En lo que resta de esta sección y capítulo es importante que el lector se adiestre en la simplificación de la suma de dos o más series de potencias cada una expresada en notación de sumatoria (sigma) formando una expresión con una sola å.   Para ello, a menudo se requiere un corrimiento de los índices de suma.

  

EJEMPLO 4   Suma de dos series de potencias

Exprese   como una sola serie.

SOLUCIÓN   Para sumar la serie se necesita que ambos índices de las sumatorias comiencen en el mismo número y que las potencias de x en cada serie estén "enfasadas"; esto es,

que si una serie comienza con un múltiplo de, digamos x a la primera potencia, la otra serie  empiece con la misma potencia. Si escribimos

las dos series del lado izquierdo comienzan con x1.  Para obtener el mismo índice de suma nos basamos en los exponentes de x; se define k = n ‑ 1 en la primera serie y k = n + 1 en la segunda. Así, el lado derecho de la ecuación (3) se transforma en

(4)

Recuérdese que el índice de suma es una variable "muda". El hecho de que k = n ‑ 1 en un caso y k = n + 1 en el otro no nos debe confundir si tenemos en mente que lo importante es el valor del índice de la sumatoria. En ambos casos k adopta los mismos valores sucesivos, 1, 2, 3, . . . cuando n = 2, 3, 4, . . . (para k = n ‑ 1) y n = 0, 1, 2, . . . (para k = n + 1).

Con lo anterior ya podemos sumar las series en (4) término a término:

(5)

Si el lector no se convenció, desarrolle algunos términos de ambos lados de (5)

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