10.3     SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS

Funciones pares e impares   Propiedades de las funciones pares e impares

Series de Fourier de cosenos y de. senos   Sucesión de sumas parciales

Fenómeno de Gibbs   Desarrollos en mitad de intervalo

Funciones pares e impares El lector recordará que se dice que una función ¦ es

EJEMPLO  1  Funciones pares e impares

Como se ilustra en las figuras 10.3 y 10.4, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y y la de una función impar lo es con respecto al origen.

EJEMPLO  2  Funciones pares e impares

Como cosí (‑x) = cos x  y sen(‑x) = ‑sen x, el coseno y el seno son función par e impar, respectivamente.

Propiedades de las funciones pares e impares El teorema que sigue menciona algunas propiedades de las funciones pares e impares.

TEOREMA 10.2 Propiedades de las funciones pares e impares

a)       El producto dé dos funciones pares es par.

b)       El producto de dos funciones impares es par.

c)       El producto de una función impar y una función par es impar.

d)       La suma o diferencia de dos funciones pares es par.

e)       La suma o diferencia de dos funciones impares es impar:

DEMOSTRACIÓN DE b) Supongamos que ¦ y g son funciones impares. En ese caso tendremos

que,   Si definimos el producto de  entonces

Esto demuestra que el producto F de dos funciones impares es una función par. Las demostra­ciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. (Problemas 45 a 49 de los ejercicios 10.3.)

Series de senos y de cosenos Si ¦ es una función paren (-p, p), entonces, en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9), (10) y (11) de la definición mencionada en la sección 10.2 se transforman en

En forma parecida, cuando ¦ es impar en el intervalo (-p, p),

Resumiremos los resultados en la definición siguiente.

DEFINICIÓN 10.6 Series de Fourier de cosenos y serie de senos

 i) La serie de Fourier de una, función par en el intervalo (-p, p) es la serie de cosenos

en que (1) (2) (3)

ii) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p, p) es la serie de senos

en donde (4) (5)

 EJEMPLO   3     Desarrollo en una serie de senos

Desarrolle ¦ (x) = x, ‑2 < x < 2 en forma de una serie de Fourier.

SOLUCIÓN Desarrollaremos f como una serie de senos porque al ver la figura 10.5 advertiremos que la función es impar en el intervalo (‑2, 2).

Hacemos que 2p = 4, o p = 2, y podemos escribir la ecuación (5) como sigue:

Integramos por partes para obtener

Por consiguiente, (6)

EJEMPLO 4       Convergencia a la extensión periódica

La función del ejemplo 3 satisface las condiciones del teorema 10.1; y en consecuencia la serie (6) converge hacia la función en el intervalo (‑2, 2) y la extensión periódica (de periodo 4), ilustrada en la figura 10.6.

EJEMPLO  5      Desarrollo en una serie de senos

La función

cuya gráfica se muestra en la figura 10.7 es impar en el intervalo y de acuerdo con (5),


Sucesión de sumas parciales Es interesante ver cómo la sucesión de sumas parciales de una serie de Fourier se aproxima a una función. En la figura 10.8 se compara la gráfica de la función ¦ del ejemplo 5 con las de las tres primeras sumas parciales de la ecuación (7):

La figura 10.8d) muestra la gráfica. de la suma parcial S15 que tiene picos notables cerca de las discontinuidades en   x = 0, x = p, x = ‑p, etcétera. Este "exceso" de las sumas parciales SN, respecto a los valores de la función cerca de un punto de discontinuidad no se empareja, sino que permanece bastante constante, aunque el valor de N sea muy grande. A este compor­tamiento de una serie de Fourier cerca de un punto en el que ¦ es discontinua se le llama fenómeno de Gibbs.

Desarrollos en mitad de intervalo En lo que va del capítulo hemos dado por supues­to que una función f está definida en un intervalo con el origen en su punto medio –esto es, que -p < x < p–. Sin embargo, en muchos casos nos interesa representar, mediante una serie trigonométrica, una función definida sólo para 0 < x < L. Lo podemos hacer de muchas formas distintas si dando una definición arbitraria de la función en el intervalo L < x < 0. Por brevedad sólo describiremos los tres casos más importantes. Si y = ¦(x) está definida en el intervalo 0 < x < L, entonces

i)   Reflejar la gráfica de la función respecto al eje y, en -L < x < 0; la función ahora es par en ‑L < x < L (Fig. 10.9)

ii)   Reflejar la gráfica de la función respecto al origen, en ‑L < x < 0; la función viene a ser impar en ‑L < x < L (Fig.10.10) o también

iii)   Defina ¦ en ‑L < x < 0 como f(x) =¦ (x + L) (Fig. 10.11).

Obsérvese que en los coeficientes de las series (1) y (4) sólo se utiliza la definición de la función en 0 < x < p (esto es, la mitad del intervalo -p < x < p). Por esta razón, en la práctica no hay necesidad de reflejar como se describió en i) y en ü). Si se define ¦ en 0 < x < L, tan sólo identificamos la mitad del periodo, o semiperiodo, como la longitud del intervalo p = L. Tanto las fórmulas (2), (3) y (S) de los coeficientes como las series correspondientes dan una extensión periódica par o impar, de periodo 2L como función original. Las series de cosenos y senos que se obtienen con este método se llaman desarrollos en mitad de intervalo. Por último, en el caso üi), igualamos los valores funcionales en el intervalo ‑L < x < 0 con los del intervalo 0 < x < L. Como en los dos casos anteriores, no hay necesidad de hacerlo. Se puede demostrar que el conjunto de funciones en la ecuación (1) de la sección 10.2 es ortogonal en a ≤ x ≤ 5 a + 2p para todo número real a. Si elegimos a = p, obtendremos los límites de integración en las ecuaciones (9), (10) y (11) de esa sección. Pero cuando a = 0, los límites de integración son de x = 0 a x = 2p. Así, si f está definida en el intervalo 0 < x < L, podemos identificar 2p = L o p = L/2. La serie de Fourier que resulta dará la extensión periódica de ¦, con periodo L. De esta manera los valores hacia los que converge la serie serán los mismos en ‑L < x < 0 que en 0 < x < L

CONTINUAR>>

.